Номер 5.94, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.94. Прутик длиной $l$ случайно обломился в двух местах и разделился на 3 части. Какова вероятность того, что:

1) из этих частей можно образовать треугольник;

2) длина на каждой из этих частей не меньше, чем $\frac{l}{4}$?

Для решения задачи воспользуемся методом геометрической вероятности. Пусть длина прутика $l=1$. Места двух случайных разломов обозначим как $x$ и $y$. Эти величины являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на отрезке $[0, 1]$. Пространством элементарных исходов является квадрат в системе координат $Oxy$ со стороной 1 и вершинами в точках $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$. Площадь этого квадрата (мера всего пространства исходов) равна $S_{total} = 1 \cdot 1 = 1$.

Длины трех получившихся частей прутика зависят от взаимного расположения точек $x$ и $y$.

1. Если $x < y$, то длины частей равны: $a = x$, $b = y - x$, $c = 1 - y$. Эта ситуация соответствует верхней треугольной области квадрата, выше диагонали $y=x$. Площадь этой области $S_1 = 1/2$.

2. Если $y < x$, то длины частей равны: $a = y$, $b = x - y$, $c = 1 - x$. Эта ситуация соответствует нижней треугольной области квадрата, ниже диагонали $y=x$. Площадь этой области $S_2 = 1/2$.

1) из этих частей можно образовать треугольник;

Для того чтобы из трех отрезков с длинами $a, b, c$ можно было составить треугольник, необходимо и достаточно выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Поскольку $a + b + c = 1$, эти неравенства можно переписать в более простом виде. Например, из $a+b > c$ следует $a+b+c > 2c$, то есть $1 > 2c$ или $c < 1/2$. Аналогично для двух других неравенств. Таким образом, условие сводится к тому, что длина каждой из трех частей должна быть меньше половины длины прутика:

$a < 1/2, \quad b < 1/2, \quad c < 1/2$

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $x < y$ (верхний треугольник пространства исходов)

Условия для длин частей $a=x, b=y-x, c=1-y$ принимают вид:

$x < 1/2$

$y - x < 1/2 \implies y < x + 1/2$

$1 - y < 1/2 \implies y > 1/2$

Эти неравенства вместе с условием $0 < x < y < 1$ определяют на плоскости $Oxy$ треугольную область, благоприятствующую событию. Вершины этой области: $(0, 1/2)$, $(1/2, 1)$ и $(1/2, 1/2)$. Площадь этого треугольника (благоприятная мера в данном случае) равна:

$S_{fav1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (1 - 1/2) \cdot (1/2 - 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Случай 2: $y < x$ (нижний треугольник пространства исходов)

Условия для длин частей $a=y, b=x-y, c=1-x$ принимают вид:

$y < 1/2$

$x - y < 1/2 \implies y > x - 1/2$

$1 - x < 1/2 \implies x > 1/2$

Эти неравенства вместе с условием $0 < y < x < 1$ определяют симметричную треугольную область с вершинами: $(1/2, 0)$, $(1, 1/2)$ и $(1/2, 1/2)$. Площадь этого треугольника равна:

$S_{fav2} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (1/2 - 0) \cdot (1 - 1/2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Общая площадь благоприятствующей области равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{fav} = S_{fav1} + S_{fav2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Вероятность $P_1$ равна отношению благоприятной площади к общей площади пространства исходов:

$P_1 = \frac{S_{fav}}{S_{total}} = \frac{1/4}{1} = \frac{1}{4}$

Геометрическая иллюстрация благоприятной области (закрашена зеленым):

Ответ: $1/4$

2) длина каждой из этих частей не меньше, чем $l/4$?

Условие означает, что $a \ge l/4$, $b \ge l/4$, $c \ge l/4$. Полагая $l=1$, получаем:

$a \ge 1/4, \quad b \ge 1/4, \quad c \ge 1/4$

Рассмотрим снова два случая:

Случай 1: $x < y$

Условия для длин частей $a=x, b=y-x, c=1-y$ принимают вид:

$x \ge 1/4$

$y - x \ge 1/4 \implies y \ge x + 1/4$

$1 - y \ge 1/4 \implies y \le 3/4$

Эти неравенства определяют на плоскости $Oxy$ треугольную область с вершинами в точках $(1/4, 1/2)$, $(1/2, 3/4)$ и $(1/4, 3/4)$. Все точки этой области удовлетворяют условию $x < y$. Площадь этого треугольника равна:

$S'_{fav1} = \frac{1}{2} \cdot (3/4 - 1/2) \cdot (1/2 - 1/4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$

Случай 2: $y < x$

Условия для длин частей $a=y, b=x-y, c=1-x$ принимают вид:

$y \ge 1/4$

$x - y \ge 1/4 \implies y \le x - 1/4$

$1 - x \ge 1/4 \implies x \le 3/4$

Эта система неравенств задает треугольную область с вершинами $(1/2, 1/4)$, $(3/4, 1/2)$ и $(3/4, 1/4)$. Все точки этой области удовлетворяют условию $y < x$. Площадь этого треугольника равна:

$S'_{fav2} = \frac{1}{2} \cdot (1/2 - 1/4) \cdot (3/4 - 1/2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$

Общая площадь благоприятствующей области равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S'_{fav} = S'_{fav1} + S'_{fav2} = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$

Вероятность $P_2$ равна отношению благоприятной площади к общей площади пространства исходов:

$P_2 = \frac{S'_{fav}}{S_{total}} = \frac{1/16}{1} = \frac{1}{16}$

Геометрическая иллюстрация благоприятной области (закрашена синим):

Ответ: $1/16$