Номер 5.97, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.97. Один из радиусов кольца вдвое больше другого. В точке малой окружности кольца поместили источник света. Найдите вероятность того, что наудачу выбранная точка кольца окажется освещенной.

Для решения задачи используется метод геометрической вероятности. Вероятность $P$ того, что случайно выбранная точка кольца окажется освещенной, определяется как отношение площади освещенной части кольца $S_{\text{освещ}}$ к общей площади кольца $S_{\text{кольца}}$:

$P = \frac{S_{\text{освещ}}}{S_{\text{кольца}}}$

1. Нахождение общей площади кольца.

Пусть радиус внутренней (малой) окружности равен $r$. Согласно условию, радиус внешней (большой) окружности $R$ вдвое больше, то есть $R = 2r$.

Площадь круга, ограниченного большой окружностью, составляет $S_R = \pi R^2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$.

Площадь круга, ограниченного малой окружностью, равна $S_r = \pi r^2$.

Площадь кольца $S_{\text{кольца}}$ является разностью этих двух площадей:

$S_{\text{кольца}} = S_R - S_r = 4\pi r^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2$.

2. Нахождение площади освещенной части кольца.

Для определения освещенной области введем систему координат. Поместим центр кольца в начало координат $O(0,0)$. Внутренняя окружность задается уравнением $x^2 + y^2 = r^2$, а внешняя — $x^2 + y^2 = (2r)^2$. Источник света $S$ расположен на малой окружности; для простоты расчетов поместим его в точку $S(r, 0)$.

Предполагается, что область внутри малой окружности (диск $x^2 + y^2 \le r^2$) непрозрачна для света. Свет от источника $S$ распространяется прямолинейно. Точка в кольце будет освещена, если отрезок, соединяющий ее с источником света, не пересекает внутреннюю часть этого непрозрачного диска. Так как источник $S$ находится на границе диска, свет может распространяться только в полупространство, "внешнее" по отношению к касательной в этой точке. Касательной к окружности $x^2+y^2=r^2$ в точке $S(r,0)$ является прямая $x=r$. Любой луч света, направленный от $S$ в область $x < r$, будет заблокирован диском. Следовательно, освещенной может быть только та часть кольца, для точек которой выполняется условие $x \ge r$.

Освещенная область $S_{\text{освещ}}$ задается системой неравенств: $r^2 \le x^2 + y^2 \le (2r)^2$ и $x \ge r$.

Важно отметить, что для любой точки с координатой $x > r$ автоматически выполняется $x^2 > r^2$, а значит и $x^2 + y^2 > r^2$. Таким образом, условие $x^2+y^2 \ge r^2$ избыточно, и освещенная область — это часть большого круга радиуса $R=2r$, лежащая правее прямой $x=r$.

Эта область представляет собой сегмент большого круга, отсекаемый хордой $x=r$. Площадь сегмента можно вычислить как разность площади сектора и площади треугольника.

Найдем точки пересечения $A$ и $B$ прямой $x=r$ с окружностью $x^2+y^2=(2r)^2$:

$r^2 + y^2 = 4r^2 \implies y^2 = 3r^2 \implies y = \pm \sqrt{3}r$.

Следовательно, точки пересечения — $A(r, \sqrt{3}r)$ и $B(r, -\sqrt{3}r)$.

Площадь сектора $OAB$ определяется его центральным углом $2\alpha$. Косинус половины угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета $r$ к гипотенузе $R$:

$\cos \alpha = \frac{r}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.

Отсюда $\alpha = \frac{\pi}{3}$, а полный угол сектора $2\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Площадь сектора: $S_{\text{сектора}} = \frac{2\alpha}{2\pi} \pi R^2 = \alpha R^2 = \frac{\pi}{3} (2r)^2 = \frac{4\pi r^2}{3}$.

Площадь треугольника $OAB$ с основанием $AB = 2\sqrt{3}r$ и высотой $r$ равна:

$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{3}r) \cdot r = \sqrt{3}r^2$.

Площадь освещенной части кольца равна разности площади сектора и площади треугольника:

$S_{\text{освещ}} = S_{\text{сектора}} - S_{\triangle OAB} = \frac{4\pi r^2}{3} - \sqrt{3}r^2 = r^2(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3})$.

3. Нахождение вероятности.

Теперь мы можем найти искомую вероятность, разделив площадь освещенной части на общую площадь кольца:

$P = \frac{S_{\text{освещ}}}{S_{\text{кольца}}} = \frac{r^2(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3})}{3\pi r^2} = \frac{\frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{3}}{3\pi} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\pi}$.

Ответ: $\frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\pi}$