Номер 5.93, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.93. Прут длиной 1 м случайно переломился на две части. Нужно определить вероятность того, что длина каждой части прута не меньше, чем 30 см. Здесь следует считать, что прут может обломиться в любой точке с равными возможностями.

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности.

1. Определение пространства элементарных исходов.
Длина прута составляет $L = 1$ м, что равно $100$ см. Прут может переломиться в любой точке. Обозначим координату точки излома как $x$, отсчитывая от одного из концов прута. Поскольку точка излома случайна и равновероятна по всей длине, $x$ является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке $[0, 100]$. Длина этого отрезка представляет собой меру всех возможных исходов: $L_{всего} = 100 - 0 = 100$ см.

2. Определение благоприятных исходов.
Когда прут ломается в точке $x$, образуются две части. Длина первой части равна $x$, а длина второй — $100 - x$. Согласно условию задачи, длина каждой части должна быть не меньше, чем 30 см. Запишем это в виде системы неравенств: $ \begin{cases} x \ge 30 \\ 100 - x \ge 30 \end{cases} $

Решим эту систему:
Из первого неравенства имеем $x \ge 30$.
Из второго неравенства получаем $100 - 30 \ge x$, то есть $x \le 70$.
Таким образом, чтобы условие выполнялось, точка излома $x$ должна находиться в интервале $[30, 70]$. Этот интервал является множеством благоприятных исходов.

Длина этого благоприятного интервала составляет $L_{благопр} = 70 - 30 = 40$ см.

Наглядно это можно представить на схеме:

3. Расчет вероятности.
Вероятность события $A$ (длина каждой части не меньше 30 см) определяется как отношение длины благоприятного интервала к длине всего интервала возможных исходов:
$P(A) = \frac{L_{благопр}}{L_{всего}} = \frac{40 \text{ см}}{100 \text{ см}} = 0.4$

Ответ: 0.4