Номер 5.86, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.86. Внутри равностороннего треугольника со стороной $a$ случайно отмечена точка. Какова вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику, образованному средними линиями данного треугольника?

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) области благоприятных исходов к мере всей области возможных исходов.

Пусть дан равносторонний треугольник $\triangle ABC$ со стороной $a$. Это пространство всех возможных положений точки. Его площадь $S_{total}$ вычисляется по формуле:

$S_{total} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что точка попадет в треугольник, образованный средними линиями данного треугольника. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Проведем все три средние линии в $\triangle ABC$. Пусть $M$, $N$ и $K$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Средние линии $MN$, $NK$ и $MK$ образуют внутренний треугольник $\triangle MNK$.

Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Следовательно, все стороны треугольника $\triangle MNK$ равны $\frac{a}{2}$.

$MN = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$

$NK = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$

$MK = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$

Таким образом, треугольник $\triangle MNK$ также является равносторонним. Площадь этого треугольника $S_{fav}$ (область благоприятных исходов) равна:

$S_{fav} = \frac{(\frac{a}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$

Искомая вероятность $P$ равна отношению площади благоприятных исходов к общей площади:

$P = \frac{S_{fav}}{S_{total}} = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{16}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} \cdot \frac{4}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Стоит также отметить, что три средние линии делят исходный равносторонний треугольник на четыре равных между собой равносторонних треугольника. Область благоприятных исходов — это один из этих четырех треугольников (центральный). Следовательно, его площадь составляет $\frac{1}{4}$ от общей площади, и вероятность попадания точки в него равна $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$