Номер 5.81, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.81. Упростите выражения:

1) $\frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x + \sin(\pi - x)} - \frac{\operatorname{tg} x \cdot \cos(\pi - x)}{2}$;

2) $\frac{2 \sin \varphi \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right)}{2 \cos^2 \varphi - 1}$.

1)

Для упрощения выражения $\frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x + \sin(\pi - x)} - \frac{\text{tg}x \cdot \cos(\pi - x)}{2}$ выполним преобразования по частям.

Сначала упростим первую дробь: $\frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x + \sin(\pi - x)}$.

В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1^2 - \cos^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

В знаменателе используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$:

$\sin x + \sin(\pi - x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Таким образом, первая дробь равна $\frac{\sin^2 x}{2\sin x} = \frac{\sin x}{2}$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{\text{tg}x \cdot \cos(\pi - x)}{2}$.

Используем определение тангенса $\text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$:

$\text{tg}x \cdot \cos(\pi - x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x$.

Вторая дробь равна $\frac{-\sin x}{2}$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\frac{\sin x}{2} - \frac{-\sin x}{2} = \frac{\sin x}{2} + \frac{\sin x}{2} = \frac{2\sin x}{2} = \sin x$.

Ответ: $\sin x$.

2)

Для упрощения выражения $\frac{2 \sin \varphi \cdot \sin(\frac{\pi}{2} + \varphi)}{2 \cos^2 \varphi - 1}$ рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

В числителе применим формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \varphi) = \cos \varphi$.

Числитель примет вид: $2 \sin \varphi \cdot \cos \varphi$.

Это формула синуса двойного угла: $2 \sin \varphi \cos \varphi = \sin(2\varphi)$.

Знаменатель $2 \cos^2 \varphi - 1$ является одной из формул косинуса двойного угла: $2 \cos^2 \varphi - 1 = \cos(2\varphi)$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\sin(2\varphi)}{\cos(2\varphi)}$.

По определению тангенса, $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha$, следовательно:

$\frac{\sin(2\varphi)}{\cos(2\varphi)} = \text{tg}(2\varphi)$.

Ответ: $\text{tg}(2\varphi)$.