Номер 5.74, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.74. Докажите неравенство $P_A(B) > P(B)$, если $P_B(A) > P(A)$.

Доказательство

Нам дано неравенство $P_B(A) > P(A)$, где $P_B(A)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$. Требуется доказать, что из этого следует неравенство $P_A(B) > P(B)$, где $P_A(B)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

Запишем определение условной вероятности. Условная вероятность события $X$ при условии, что произошло событие $Y$, вычисляется по формуле: $P_Y(X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$, при условии что $P(Y) > 0$.

Начнем с данного нам неравенства: $P_B(A) > P(A)$

Используя определение условной вероятности, перепишем левую часть (это подразумевает, что $P(B) > 0$): $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} > P(A)$

Умножим обе части неравенства на $P(B)$. Так как $P(B)$ — это вероятность, и мы знаем, что она строго больше нуля, знак неравенства не изменится: $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$

Это неравенство означает, что события $A$ и $B$ положительно коррелируют (наступление одного повышает вероятность наступления другого).

Теперь рассмотрим неравенство, которое нам нужно доказать: $P_A(B) > P(B)$

Используя определение условной вероятности для левой части, получаем (это подразумевает, что $P(A) > 0$): $\frac{P(B \cap A)}{P(A)} > P(B)$

Мы должны убедиться, что $P(A) > 0$. Из полученного нами ранее неравенства $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$ следует, что левая часть $P(A \cap B)$ должна быть больше нуля (так как правая часть не может быть отрицательной). Если $P(A \cap B) > 0$, то и $P(A)$ должна быть больше нуля, поскольку событие $A \cap B$ является подмножеством события $A$, и, следовательно, $P(A) \ge P(A \cap B) > 0$.

Умножим обе части последнего неравенства на $P(A)$. Так как $P(A) > 0$, знак неравенства сохранится: $P(B \cap A) > P(B) \cdot P(A)$

Операция пересечения событий коммутативна, то есть $A \cap B = B \cap A$, и, следовательно, вероятности их наступления равны: $P(A \cap B) = P(B \cap A)$.

Таким образом, мы показали, что исходное неравенство $P_B(A) > P(A)$ и доказываемое неравенство $P_A(B) > P(B)$ оба эквивалентны одному и тому же неравенству: $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$

Поскольку из истинности $P_B(A) > P(A)$ следует истинность $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$, а из истинности этого неравенства следует истинность $P_A(B) > P(B)$, то мы доказали, что из $P_B(A) > P(A)$ следует $P_A(B) > P(B)$.

Ответ: Неравенство доказано.