Номер 5.78, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.78. В урне имеются $n$ шаров, пронумерованных от 1 до $n$. Из урны наудачу извлекают по одному шару и откладывают в сторону. Определите вероятность того, что минимум один раз номер шара совпадет с номером хода (т.е. с порядковым номером вынимания шара из урны)?

Данная задача известна как задача о беспорядках или задача о письмах и конвертах. Решим ее с помощью принципа включений-исключений.
Пространство элементарных исходов — это все возможные последовательности извлеченных шаров. Поскольку шары извлекаются по одному и не возвращаются, каждый исход представляет собой перестановку чисел от 1 до $n$. Общее число таких перестановок (и, следовательно, общее число равновозможных исходов) равно $N = n!$.
Пусть $A$ — это событие, при котором хотя бы один раз номер шара совпал с номером хода. То есть, существует хотя бы один номер $i$ (от 1 до $n$), для которого на $i$-м ходу был извлечен шар с номером $i$.
Для нахождения вероятности этого события $P(A)$ введем $n$ событий:
$A_i$ — событие, состоящее в том, что на $i$-м ходу извлечен шар с номером $i$ ($i = 1, 2, \dots, n$).
Тогда событие $A$ является объединением этих событий: $A = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$.
Вероятность объединения событий можно найти по формуле включений-исключений:$P(A) = P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i \cap A_j) + \dots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap \dots \cap A_n)$.
Теперь вычислим вероятности, входящие в эту формулу.
1. Вероятность $P(A_i)$: Если на $i$-м месте зафиксирован шар с номером $i$, то остальные $n-1$ шаров могут быть расположены на оставшихся $n-1$ местах $(n-1)!$ способами. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию $A_i$, равно $(n-1)!$. Вероятность события $A_i$ равна:$P(A_i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$.Сумма таких вероятностей по всем $i$ (всего $n$ слагаемых) составляет:$\sum_{i=1}^n P(A_i) = n \cdot \frac{1}{n} = 1 = \frac{1}{1!}$.
2. Вероятность $P(A_i \cap A_j)$ для $i \neq j$: Это событие означает, что на $i$-м месте стоит шар $i$ и на $j$-м месте стоит шар $j$. Остальные $n-2$ шара могут быть расположены на оставшихся $n-2$ местах $(n-2)!$ способами. Вероятность этого события:$P(A_i \cap A_j) = \frac{(n-2)!}{n!}$.Число пар $(i, j)$ таких, что $1 \le i < j \le n$, равно числу сочетаний из $n$ по 2, то есть $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2!}$. Тогда сумма вероятностей пересечений по всем парам равна:$\sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i \cap A_j) = C_n^2 \cdot \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{1}{2!}$.
3. В общем случае, для пересечения $k$ событий $A_{i_1}, \dots, A_{i_k}$, вероятность равна:$P(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) = \frac{(n-k)!}{n!}$.Число способов выбрать $k$ различных индексов из $n$ равно $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Сумма вероятностей пересечений по всем наборам из $k$ событий равна:$\sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} P(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) = C_n^k \cdot \frac{(n-k)!}{n!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{(n-k)!}{n!} = \frac{1}{k!}$.
Подставляя эти результаты в формулу включений-исключений, получаем искомую вероятность:$P(A) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{1}{n!}$.
Эту сумму можно записать в компактном виде с использованием знака суммирования:
$P(A) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k!}$.
Эта формула дает точную вероятность для любого $n \ge 1$. Например, для $n=2$ вероятность равна $1 - 1/2 = 1/2$. Для $n=3$ она равна $1 - 1/2 + 1/6 = 2/3$. При увеличении $n$ эта величина быстро сходится к $1 - e^{-1} \approx 0.632$.
Ответ: $P(A) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k!} = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n!}$.