Номер 5.76, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.76. Найдите $P(A\overline{B})$, если $P(A) = a$, $P(B) = b$, $P(A+B) = c$.

Для решения задачи воспользуемся основными формулами теории вероятностей. Обозначения в задаче:
$P(A) = a$ — вероятность события A.
$P(B) = b$ — вероятность события B.
$P(A+B) = c$ — вероятность суммы (объединения) событий A и B, то есть $P(A \cup B) = c$.
Нам нужно найти $P(A\overline{B})$ — вероятность того, что событие A произойдет, а событие B не произойдет. Это то же самое, что и вероятность разности событий $P(A \setminus B)$ или вероятность пересечения $P(A \cap \overline{B})$.

Событие A можно представить как объединение двух несовместных (взаимоисключающих) событий:
1. Произошло и событие A, и событие B (их пересечение, $AB$).
2. Произошло событие A, но не произошло событие B ($A\overline{B}$).
Таким образом, $A = AB \cup A\overline{B}$.

Так как события $AB$ и $A\overline{B}$ несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$.
Отсюда мы можем выразить искомую вероятность:
$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$.

Теперь нам нужно найти $P(AB)$ — вероятность совместного наступления событий A и B. Для этого воспользуемся теоремой сложения вероятностей для совместных событий:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.
Подставим в эту формулу известные нам значения:
$c = a + b - P(AB)$.

Из этого уравнения выразим $P(AB)$:
$P(AB) = a + b - c$.

Наконец, подставим найденное значение $P(AB)$ в формулу для $P(A\overline{B})$:
$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = a - (a + b - c)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$P(A\overline{B}) = a - a - b + c = c - b$.

Ответ: $c-b$.