Номер 5.79, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.79. Упростите выражения:

1) $(\frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x}) \cdot (\frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1})$;

2) $(\frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}}) \cdot (\frac{4ab}{b^2 - a^2})^{-1}$.

1) $ \left( \frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x} \right) \cdot \left( \frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1} \right) $

Сначала упростим выражение в первой скобке. В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки: $ y - x = -(x - y) $. Это позволит изменить знак перед дробью.

$ \frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x} = \frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{-(x - y)} = \frac{ax - y}{x + y} + \frac{ay + x}{x - y} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 $:

$ \frac{(ax - y)(x - y) + (ay + x)(x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{(ax^2 - axy - xy + y^2) + (axy + ay^2 + x^2 + xy)}{x^2 - y^2} $

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{ax^2 - \cancel{axy} - \cancel{xy} + y^2 + \cancel{axy} + ay^2 + x^2 + \cancel{xy}}{x^2 - y^2} = \frac{ax^2 + x^2 + ay^2 + y^2}{x^2 - y^2} $

Вынесем общие множители в числителе:

$ \frac{x^2(a + 1) + y^2(a + 1)}{x^2 - y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(a + 1)}{x^2 - y^2} $

Теперь упростим выражение во второй скобке. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1} = \frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} \cdot \frac{a - 1}{x^2 + y^2} $

Разложим $ a^2 - 1 $ по формуле разности квадратов как $ (a - 1)(a + 1) $ и сократим дробь:

$ \frac{x^2 - y^2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{(a + 1)(x^2 + y^2)} $

Наконец, перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$ \frac{(x^2 + y^2)(a + 1)}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{(a + 1)(x^2 + y^2)} = 1 $

Ответ: 1

2) $ \left( \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} \right) \cdot \left( \frac{4ab}{b^2 - a^2} \right)^{-1} $

Начнем с упрощения выражений с отрицательными степенями: $ a^{-1} = \frac{1}{a} $ и $ b^{-1} = \frac{1}{b} $. Преобразуем дроби в первой скобке.

Первая дробь: $ \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{b - a}{ab}}{\frac{b + a}{ab}} = \frac{b - a}{b + a} $.

Вторая дробь: $ \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{b + a}{b - a} $.

Подставим упрощенные дроби в первую скобку и выполним вычитание:

$ \frac{b - a}{b + a} - \frac{b + a}{b - a} = \frac{(b - a)^2 - (b + a)^2}{(b + a)(b - a)} $

Применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $ к числителю, где $ A = b - a $ и $ B = b + a $:

$ \frac{(b - a - (b + a))(b - a + b + a)}{b^2 - a^2} = \frac{(b - a - b - a)(2b)}{b^2 - a^2} = \frac{(-2a)(2b)}{b^2 - a^2} = \frac{-4ab}{b^2 - a^2} $

Теперь упростим вторую часть исходного выражения. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:

$ \left( \frac{4ab}{b^2 - a^2} \right)^{-1} = \frac{b^2 - a^2}{4ab} $

Перемножим полученные результаты:

$ \frac{-4ab}{b^2 - a^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{4ab} = -1 $

Ответ: -1