Номер 5.72, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.72. Два игрока подбрасывают монеты по очереди. По договоренности выигрывает тот, у кого монета выпала гербовой стороной. Найдите вероятность выигрыша каждого игрока.

Пусть $P_1$ — вероятность выигрыша игрока, который бросает монету первым, а $P_2$ — вероятность выигрыша второго игрока. Обозначим вероятность выпадения герба (условие выигрыша) как $p$, а вероятность выпадения решки как $q$. Для стандартной монеты $p = 1/2$ и $q = 1/2$.

Первый игрок выигрывает, если он выбрасывает герб на своем первом ходу (вероятность $p$), или на своем втором ходу (вероятность $q^2p$, так как для этого должны выпасть решка, решка, герб), или на своем третьем ходу (вероятность $q^4p$) и так далее. Таким образом, полная вероятность выигрыша первого игрока $P_1$ является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии: $P_1 = p + q^2p + q^4p + \dots$ Первый член этой прогрессии $a = p$, а знаменатель $r = q^2$. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{a}{1-r}$.

Подставим значения $p=1/2$ и $q=1/2$: $P_1 = \frac{p}{1-q^2} = \frac{1/2}{1-(1/2)^2} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.

Второй игрок выигрывает, если он выбрасывает герб на своем первом ходу (второй бросок в игре), что происходит с вероятностью $qp$ (решка у первого, герб у второго), или на своем втором ходу (четвертый бросок в игре), что происходит с вероятностью $q^3p$, и так далее. Вероятность выигрыша второго игрока $P_2$ также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии: $P_2 = qp + q^3p + q^5p + \dots$ Здесь первый член $a = qp$, а знаменатель $r = q^2$.

Подставим значения: $P_2 = \frac{qp}{1-q^2} = \frac{(1/2)(1/2)}{1-(1/2)^2} = \frac{1/4}{1-1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

Проверить результат можно, исходя из того, что один из игроков обязательно выиграет (игра не может длиться бесконечно, так как вероятность бесконечной серии решек равна нулю), поэтому сумма их вероятностей на выигрыш должна быть равна 1: $P_1 + P_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$. Это подтверждает правильность расчетов.

Ответ: Вероятность выигрыша игрока, начинающего игру, равна $2/3$. Вероятность выигрыша второго игрока равна $1/3$.