Страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.69. В мешочке 20 альчиков, из них 5 окрашены в красный цвет, 8 – в синий, а остальные не окрашены. Из мешочка наудачу вынимают один альчик.

Опишите все элементарные исходы возможного цвета этого альчика.

Составьте шкалу вероятностей.

В задаче дано общее количество альчиков в мешочке и количество альчиков каждого цвета. Найдем все данные, необходимые для решения.

Всего альчиков в мешочке: $n = 20$.

Количество красных альчиков: $m_{красный} = 5$.

Количество синих альчиков: $m_{синий} = 8$.

Чтобы найти количество неокрашенных альчиков, нужно из общего числа альчиков вычесть количество красных и синих:

$m_{неокрашенный} = n - (m_{красный} + m_{синий}) = 20 - (5 + 8) = 20 - 13 = 7$.

Таким образом, в мешочке 7 неокрашенных альчиков.

Опишите все элементарные исходы возможного цвета этого альчика.

Элементарный исход — это один из возможных результатов случайного эксперимента. В данном случае эксперимент заключается в вынимании одного альчика из мешочка и определении его цвета. Возможны три цвета, поэтому существует три элементарных исхода:

1. Событие A: вынут красный альчик.
2. Событие B: вынут синий альчик.
3. Событие C: вынут неокрашенный альчик.

Ответ: Элементарными исходами являются следующие события: «вынут красный альчик», «вынут синий альчик», «вынут неокрашенный альчик».

Составьте шкалу вероятностей.

Для составления шкалы вероятностей необходимо рассчитать вероятность каждого элементарного исхода. Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

В нашем случае общее число исходов $n=20$.

1. Вероятность вынуть красный альчик (событие A):

$P(A) = \frac{m_{красный}}{n} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0,25$

2. Вероятность вынуть синий альчик (событие B):

$P(B) = \frac{m_{синий}}{n} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$

3. Вероятность вынуть неокрашенный альчик (событие C):

$P(C) = \frac{m_{неокрашенный}}{n} = \frac{7}{20} = 0,35$

Сумма вероятностей всех элементарных исходов должна быть равна 1, проверим:

$P(A) + P(B) + P(C) = 0,25 + 0,4 + 0,35 = 1$.

Шкала вероятностей представляет собой числовую ось, на которой отмечены вероятности всех возможных исходов.

Ответ: Вероятность вынуть красный альчик равна 0,25; синий — 0,4; неокрашенный — 0,35.

5.70. Монета подбрасывается дважды. Опишите все возможные исходы этого эксперимента. Составьте шкалу вероятностей.

Опишите все возможные исходы этого эксперимента

Эксперимент состоит в двукратном подбрасывании монеты. У каждого подбрасывания есть два возможных исхода: выпадение «орла» (О) или «решки» (Р). Чтобы описать все возможные исходы эксперимента, мы должны перечислить все возможные комбинации результатов для двух бросков.
Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары, где первый элемент — результат первого броска, а второй — результат второго броска.
Возможные исходы:
1. Первый бросок — орёл, второй бросок — орёл. Запись: (О, О).
2. Первый бросок — орёл, второй бросок — решка. Запись: (О, Р).
3. Первый бросок — решка, второй бросок — орёл. Запись: (Р, О).
4. Первый бросок — решка, второй бросок — решка. Запись: (Р, Р).
Таким образом, существует всего 4 элементарных исхода. Если монета симметрична («честная»), то все эти четыре исхода являются равновероятными.
Ответ: Все возможные исходы эксперимента: (Орёл, Орёл), (Орёл, Решка), (Решка, Орёл), (Решка, Решка).

Составьте шкалу вероятностей

Шкала вероятностей — это наглядное представление вероятностей различных событий на числовой оси от 0 до 1. Сначала рассчитаем вероятности ключевых событий для данного эксперимента. Общее число равновозможных исходов $N=4$.
• Событие A: «выпало два орла». Этому событию соответствует один исход (О, О). Вероятность этого события вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих исходов. Здесь $m=1$. Таким образом, $P(A) = \frac{1}{4}$.
• Событие B: «выпало две решки». Этому событию также соответствует один исход (Р, Р). Его вероятность $P(B) = \frac{1}{4}$.
• Событие C: «выпал один орёл и одна решка». Этому событию соответствуют два исхода: (О, Р) и (Р, О). Число благоприятствующих исходов $m=2$. Вероятность события $P(C) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• Невозможное событие (например, «выпало три орла») имеет вероятность 0.
• Достоверное событие (например, «произошел один из четырех исходов») имеет вероятность 1.
Теперь можно составить шкалу вероятностей, отметив на ней эти значения.

Ответ: Шкала вероятностей для эксперимента с двукратным подбрасыванием монеты представлена на рисунке. На ней отмечены вероятности ключевых событий: 0 (невозможное событие), $\frac{1}{4}$ (вероятность выпадения двух орлов или двух решек), $\frac{1}{2}$ (вероятность выпадения одного орла и одной решки) и 1 (достоверное событие).

5.71. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. По цели стреляют до первого попадания. Найдите вероятность того, что по цели будет произведено не более, чем 3 выстрела.

Пусть $p$ — это вероятность попадания в цель при одном выстреле. Согласно условию задачи, $p = 0.6$.

Тогда вероятность промаха, которую мы обозначим как $q$, будет равна:$q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Условие «по цели будет произведено не более чем 3 выстрела» означает, что стрельба прекратится после первого, второго или третьего выстрела. Это произойдет, если будет зафиксировано попадание на одном из этих выстрелов. Рассмотрим три возможных взаимоисключающих (несовместных) сценария:

1. Попадание с первого выстрела.Вероятность этого события равна вероятности попадания при одном выстреле:$P_1 = p = 0.6$.

2. Попадание со второго выстрела.Это событие произойдет, если первый выстрел был промахом (с вероятностью $q$), а второй — попаданием (с вероятностью $p$). Так как выстрелы являются независимыми событиями, их вероятности перемножаются:$P_2 = q \cdot p = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$.

3. Попадание с третьего выстрела.Это событие произойдет, если первые два выстрела были промахами (с вероятностью $q$ каждый), а третий — попаданием (с вероятностью $p$). Вероятность этого сценария:$P_3 = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = 0.4^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096$.

Искомая вероятность — это сумма вероятностей этих трех несовместных событий, так как нам подходит любой из этих сценариев.$P(\text{не более 3 выстрелов}) = P_1 + P_2 + P_3 = 0.6 + 0.24 + 0.096 = 0.936$.

Ответ: 0.936

5.72. Два игрока подбрасывают монеты по очереди. По договоренности выигрывает тот, у кого монета выпала гербовой стороной. Найдите вероятность выигрыша каждого игрока.

Пусть $P_1$ — вероятность выигрыша игрока, который бросает монету первым, а $P_2$ — вероятность выигрыша второго игрока. Обозначим вероятность выпадения герба (условие выигрыша) как $p$, а вероятность выпадения решки как $q$. Для стандартной монеты $p = 1/2$ и $q = 1/2$.

Первый игрок выигрывает, если он выбрасывает герб на своем первом ходу (вероятность $p$), или на своем втором ходу (вероятность $q^2p$, так как для этого должны выпасть решка, решка, герб), или на своем третьем ходу (вероятность $q^4p$) и так далее. Таким образом, полная вероятность выигрыша первого игрока $P_1$ является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии: $P_1 = p + q^2p + q^4p + \dots$ Первый член этой прогрессии $a = p$, а знаменатель $r = q^2$. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{a}{1-r}$.

Подставим значения $p=1/2$ и $q=1/2$: $P_1 = \frac{p}{1-q^2} = \frac{1/2}{1-(1/2)^2} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.

Второй игрок выигрывает, если он выбрасывает герб на своем первом ходу (второй бросок в игре), что происходит с вероятностью $qp$ (решка у первого, герб у второго), или на своем втором ходу (четвертый бросок в игре), что происходит с вероятностью $q^3p$, и так далее. Вероятность выигрыша второго игрока $P_2$ также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии: $P_2 = qp + q^3p + q^5p + \dots$ Здесь первый член $a = qp$, а знаменатель $r = q^2$.

Подставим значения: $P_2 = \frac{qp}{1-q^2} = \frac{(1/2)(1/2)}{1-(1/2)^2} = \frac{1/4}{1-1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

Проверить результат можно, исходя из того, что один из игроков обязательно выиграет (игра не может длиться бесконечно, так как вероятность бесконечной серии решек равна нулю), поэтому сумма их вероятностей на выигрыш должна быть равна 1: $P_1 + P_2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$. Это подтверждает правильность расчетов.

Ответ: Вероятность выигрыша игрока, начинающего игру, равна $2/3$. Вероятность выигрыша второго игрока равна $1/3$.

5.73. Решите предыдущую задачу для трех игроков.

Для решения задачи для трех игроков, которых мы назовем Игрок 1, Игрок 2 и Игрок 3, воспользуемся теорией беспристрастных игр. Состояние игры с двумя кучками камней размеров $n$ и $m$ можно охарактеризовать одним числом — ним-суммой, которая вычисляется как побитовое исключающее ИЛИ (XOR) размеров кучек: $S = n \oplus m$.

Согласно теореме Шпрага–Гранди, любая беспристрастная игра эквивалентна игре Ним с одной кучкой определенного размера. В данном случае, игра с двумя кучками $(n, m)$ эквивалентна игре с одной кучкой размера $S = n \oplus m$. Ход в исходной игре соответствует изменению размера этой эквивалентной кучки. Важным свойством является то, что из состояния с ним-суммой $S$ всегда можно сделать ход в состояние с любой ним-суммой $S' < S$.

Таким образом, задача сводится к анализу более простой игры: три игрока (Игрок 1, Игрок 2, Игрок 3) по очереди изменяют количество камней в одной кучке размера $S$. За один ход игрок обязан уменьшить количество камней. Проигрывает тот, перед чьим ходом кучка оказывается пустой ($S=0$), так как он не может сделать ход. Два других игрока считаются выигравшими.

Рассмотрим два случая в зависимости от начальной ним-суммы $S_0 = n \oplus m$.

1. Начальная ним-сумма равна нулю: $S_0 = n \oplus m = 0$.
Эта ситуация возникает, когда размеры кучек равны, то есть $n=m$. Эквивалентная игра начинается с кучкой размера 0. Ход принадлежит Игроку 1. Поскольку кучка пуста, Игрок 1 не может сделать ход и немедленно проигрывает. Выигрывают Игрок 2 и Игрок 3.

2. Начальная ним-сумма не равна нулю: $S_0 = n \oplus m > 0$.
Эта ситуация возникает, когда размеры кучек не равны, то есть $n \neq m$. Эквивалентная игра начинается с кучкой размера $S_0 > 0$. Ход принадлежит Игроку 1. У него есть возможность уменьшить размер кучки до любого значения $S_1 < S_0$. Рациональный игрок, стремящийся не проиграть, выберет ход, который приводит к проигрышу другого игрока. Игрок 1 может уменьшить размер кучки до 0 (то есть выбрать $S_1=0$), так как $0 < S_0$.
Сделав такой ход, Игрок 1 оставляет после себя пустую кучку. Ход переходит к Игроку 2. Игрок 2 оказывается перед пустой кучкой, не может сделать ход и, следовательно, проигрывает. Игрок 1, обеспечив проигрыш другого игрока, сам выживает. Игрок 3 также выживает. Таким образом, выигрывают Игрок 1 и Игрок 3.
Стратегия Игрока 1 в случае $n \neq m$ заключается в том, чтобы сделать ход в позицию с нулевой ним-суммой. Это всегда возможно. Для этого Игрок 1 вычисляет $S=n \oplus m$ и изменяет одну из кучек, например, размера $n$, до нового размера $n' = n \oplus S$. Известно, что такой ход всегда корректен (то есть $n' < n$). Новая ним-сумма будет равна $n' \oplus m = (n \oplus S) \oplus m = (n \oplus m) \oplus S = S \oplus S = 0$.

Таким образом, исход игры полностью определяется начальными размерами кучек.

Ответ: Исход игры зависит от ним-суммы размеров кучек $S = n \oplus m$.

• Если $n \oplus m = 0$ (что эквивалентно $n=m$), то первый игрок проигрывает. Второй и третий игроки выигрывают.
• Если $n \oplus m \neq 0$ (что эквивалентно $n \neq m$), то у первого игрока есть выигрышная стратегия. Он делает ход в позицию с нулевой ним-суммой, что приводит к проигрышу второго игрока. Выигрывают первый и третий игроки.

5.74. Докажите неравенство $P_A(B) > P(B)$, если $P_B(A) > P(A)$.

Доказательство

Нам дано неравенство $P_B(A) > P(A)$, где $P_B(A)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$. Требуется доказать, что из этого следует неравенство $P_A(B) > P(B)$, где $P_A(B)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

Запишем определение условной вероятности. Условная вероятность события $X$ при условии, что произошло событие $Y$, вычисляется по формуле: $P_Y(X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$, при условии что $P(Y) > 0$.

Начнем с данного нам неравенства: $P_B(A) > P(A)$

Используя определение условной вероятности, перепишем левую часть (это подразумевает, что $P(B) > 0$): $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} > P(A)$

Умножим обе части неравенства на $P(B)$. Так как $P(B)$ — это вероятность, и мы знаем, что она строго больше нуля, знак неравенства не изменится: $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$

Это неравенство означает, что события $A$ и $B$ положительно коррелируют (наступление одного повышает вероятность наступления другого).

Теперь рассмотрим неравенство, которое нам нужно доказать: $P_A(B) > P(B)$

Используя определение условной вероятности для левой части, получаем (это подразумевает, что $P(A) > 0$): $\frac{P(B \cap A)}{P(A)} > P(B)$

Мы должны убедиться, что $P(A) > 0$. Из полученного нами ранее неравенства $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$ следует, что левая часть $P(A \cap B)$ должна быть больше нуля (так как правая часть не может быть отрицательной). Если $P(A \cap B) > 0$, то и $P(A)$ должна быть больше нуля, поскольку событие $A \cap B$ является подмножеством события $A$, и, следовательно, $P(A) \ge P(A \cap B) > 0$.

Умножим обе части последнего неравенства на $P(A)$. Так как $P(A) > 0$, знак неравенства сохранится: $P(B \cap A) > P(B) \cdot P(A)$

Операция пересечения событий коммутативна, то есть $A \cap B = B \cap A$, и, следовательно, вероятности их наступления равны: $P(A \cap B) = P(B \cap A)$.

Таким образом, мы показали, что исходное неравенство $P_B(A) > P(A)$ и доказываемое неравенство $P_A(B) > P(B)$ оба эквивалентны одному и тому же неравенству: $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$

Поскольку из истинности $P_B(A) > P(A)$ следует истинность $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$, а из истинности этого неравенства следует истинность $P_A(B) > P(B)$, то мы доказали, что из $P_B(A) > P(A)$ следует $P_A(B) > P(B)$.

Ответ: Неравенство доказано.

5.75. Найдите $P(A)$, если $P(AB) = 0,72$, $P(A \overline{B}) = 0,18$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Событие A может произойти совместно с событием B или совместно с событием, противоположным B (обозначается как $\bar{B}$). Эти два варианта являются несовместными событиями, и их объединение составляет событие A.

Схематически это можно представить с помощью диаграммы Венна, где событие A (круг A) состоит из двух непересекающихся областей: пересечения с событием B (область $AB$) и части, не пересекающейся с B (область $A\bar{B}$).

Вероятность события A равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(A) = P(AB) + P(A\bar{B})$

В условии задачи даны следующие значения:

$P(AB) = 0.72$

$P(A\bar{B}) = 0.18$

Подставим эти значения в формулу:

$P(A) = 0.72 + 0.18$

$P(A) = 0.90$

Ответ: $P(A) = 0.9$.

5.76. Найдите $P(A\overline{B})$, если $P(A) = a$, $P(B) = b$, $P(A+B) = c$.

Для решения задачи воспользуемся основными формулами теории вероятностей. Обозначения в задаче:
$P(A) = a$ — вероятность события A.
$P(B) = b$ — вероятность события B.
$P(A+B) = c$ — вероятность суммы (объединения) событий A и B, то есть $P(A \cup B) = c$.
Нам нужно найти $P(A\overline{B})$ — вероятность того, что событие A произойдет, а событие B не произойдет. Это то же самое, что и вероятность разности событий $P(A \setminus B)$ или вероятность пересечения $P(A \cap \overline{B})$.

Событие A можно представить как объединение двух несовместных (взаимоисключающих) событий:
1. Произошло и событие A, и событие B (их пересечение, $AB$).
2. Произошло событие A, но не произошло событие B ($A\overline{B}$).
Таким образом, $A = AB \cup A\overline{B}$.

Так как события $AB$ и $A\overline{B}$ несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$.
Отсюда мы можем выразить искомую вероятность:
$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$.

Теперь нам нужно найти $P(AB)$ — вероятность совместного наступления событий A и B. Для этого воспользуемся теоремой сложения вероятностей для совместных событий:
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.
Подставим в эту формулу известные нам значения:
$c = a + b - P(AB)$.

Из этого уравнения выразим $P(AB)$:
$P(AB) = a + b - c$.

Наконец, подставим найденное значение $P(AB)$ в формулу для $P(A\overline{B})$:
$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = a - (a + b - c)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$P(A\overline{B}) = a - a - b + c = c - b$.

Ответ: $c-b$.

5.77. Брошены две игральные кости, пронумерованные цифрами 1 и 2. Какова вероятность того, что количество очков, выпавших на первой игральной кости, больше, чем на второй?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

При броске двух игральных костей каждая кость может выпасть одной из шести граней (от 1 до 6). Так как броски костей являются независимыми событиями, общее число всех возможных элементарных исходов $N$ равно произведению числа исходов для каждой кости:
$N = 6 \times 6 = 36$.

Нас интересует событие A, при котором количество очков, выпавших на первой игральной кости, больше, чем на второй. Обозначим результат на первой кости как $k_1$, а на второй — как $k_2$. Мы ищем исходы, для которых выполняется неравенство $k_1 > k_2$.

Перечислим все благоприятствующие этому событию исходы $M$, сгруппировав их по значению, выпавшему на второй кости:
- Если на второй кости выпало 1 ($k_2 = 1$), то на первой должно выпасть число больше 1. Подходят значения 2, 3, 4, 5, 6. Всего 5 благоприятных исходов.
- Если на второй кости выпало 2 ($k_2 = 2$), то на первой подходят значения 3, 4, 5, 6. Всего 4 благоприятных исхода.
- Если на второй кости выпало 3 ($k_2 = 3$), то на первой подходят значения 4, 5, 6. Всего 3 благоприятных исхода.
- Если на второй кости выпало 4 ($k_2 = 4$), то на первой подходят значения 5, 6. Всего 2 благоприятных исхода.
- Если на второй кости выпало 5 ($k_2 = 5$), то на первой подходит только значение 6. Всего 1 благоприятный исход.
- Если на второй кости выпало 6 ($k_2 = 6$), то нет значений на первой кости, которые были бы больше 6. Всего 0 благоприятных исходов.

Теперь найдем общее число благоприятных исходов $M$, просуммировав количество исходов для каждого случая:
$M = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15$.

Вероятность $P(A)$ события A равна отношению числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:
$P(A) = \frac{M}{N} = \frac{15}{36}$.

Сократим полученную дробь на 3:
$P(A) = \frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$

5.78. В урне имеются $n$ шаров, пронумерованных от 1 до $n$. Из урны наудачу извлекают по одному шару и откладывают в сторону. Определите вероятность того, что минимум один раз номер шара совпадет с номером хода (т.е. с порядковым номером вынимания шара из урны)?

Данная задача известна как задача о беспорядках или задача о письмах и конвертах. Решим ее с помощью принципа включений-исключений.
Пространство элементарных исходов — это все возможные последовательности извлеченных шаров. Поскольку шары извлекаются по одному и не возвращаются, каждый исход представляет собой перестановку чисел от 1 до $n$. Общее число таких перестановок (и, следовательно, общее число равновозможных исходов) равно $N = n!$.
Пусть $A$ — это событие, при котором хотя бы один раз номер шара совпал с номером хода. То есть, существует хотя бы один номер $i$ (от 1 до $n$), для которого на $i$-м ходу был извлечен шар с номером $i$.
Для нахождения вероятности этого события $P(A)$ введем $n$ событий:
$A_i$ — событие, состоящее в том, что на $i$-м ходу извлечен шар с номером $i$ ($i = 1, 2, \dots, n$).
Тогда событие $A$ является объединением этих событий: $A = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$.
Вероятность объединения событий можно найти по формуле включений-исключений:$P(A) = P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i \cap A_j) + \dots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap \dots \cap A_n)$.
Теперь вычислим вероятности, входящие в эту формулу.
1. Вероятность $P(A_i)$: Если на $i$-м месте зафиксирован шар с номером $i$, то остальные $n-1$ шаров могут быть расположены на оставшихся $n-1$ местах $(n-1)!$ способами. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию $A_i$, равно $(n-1)!$. Вероятность события $A_i$ равна:$P(A_i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$.Сумма таких вероятностей по всем $i$ (всего $n$ слагаемых) составляет:$\sum_{i=1}^n P(A_i) = n \cdot \frac{1}{n} = 1 = \frac{1}{1!}$.
2. Вероятность $P(A_i \cap A_j)$ для $i \neq j$: Это событие означает, что на $i$-м месте стоит шар $i$ и на $j$-м месте стоит шар $j$. Остальные $n-2$ шара могут быть расположены на оставшихся $n-2$ местах $(n-2)!$ способами. Вероятность этого события:$P(A_i \cap A_j) = \frac{(n-2)!}{n!}$.Число пар $(i, j)$ таких, что $1 \le i < j \le n$, равно числу сочетаний из $n$ по 2, то есть $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2!}$. Тогда сумма вероятностей пересечений по всем парам равна:$\sum_{1 \le i < j \le n} P(A_i \cap A_j) = C_n^2 \cdot \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{1}{2!}$.
3. В общем случае, для пересечения $k$ событий $A_{i_1}, \dots, A_{i_k}$, вероятность равна:$P(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) = \frac{(n-k)!}{n!}$.Число способов выбрать $k$ различных индексов из $n$ равно $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Сумма вероятностей пересечений по всем наборам из $k$ событий равна:$\sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} P(A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}) = C_n^k \cdot \frac{(n-k)!}{n!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{(n-k)!}{n!} = \frac{1}{k!}$.
Подставляя эти результаты в формулу включений-исключений, получаем искомую вероятность:$P(A) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{1}{n!}$.
Эту сумму можно записать в компактном виде с использованием знака суммирования:
$P(A) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k!}$.
Эта формула дает точную вероятность для любого $n \ge 1$. Например, для $n=2$ вероятность равна $1 - 1/2 = 1/2$. Для $n=3$ она равна $1 - 1/2 + 1/6 = 2/3$. При увеличении $n$ эта величина быстро сходится к $1 - e^{-1} \approx 0.632$.
Ответ: $P(A) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k!} = \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n!}$.