Страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.43. Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число, не превосходящее 20, будет:

1) кратным 5;

2) кратным 3;

3) простым числом;

4) составным числом?

Для решения задачи определим общее число исходов. Мы выбираем наудачу натуральное число, не превосходящее 20. Это означает, что мы выбираем одно число из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Таким образом, общее число равновозможных исходов $n = 20$.

Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

1) кратным 5;
Событие A — выбранное число кратно 5. Благоприятными исходами являются числа из нашего множества, которые делятся на 5 без остатка.
Выпишем эти числа: 5, 10, 15, 20.
Количество благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность этого события:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) кратным 3;
Событие B — выбранное число кратно 3. Благоприятными исходами являются числа из нашего множества, которые делятся на 3 без остатка.
Выпишем эти числа: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Количество благоприятных исходов $m = 6$.
Вероятность этого события:
$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

3) простым числом;
Событие C — выбранное число является простым. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.
Выпишем простые числа из нашего множества: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Количество благоприятных исходов $m = 8$.
Вероятность этого события:
$P(C) = \frac{m}{n} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

4) составным числом?
Событие D — выбранное число является составным. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Важно помнить, что число 1 не является ни простым, ни составным.
Выпишем составные числа из нашего множества: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.
Количество благоприятных исходов $m = 11$.
Вероятность этого события:
$P(D) = \frac{m}{n} = \frac{11}{20}$.
Ответ: $\frac{11}{20}$.

5.44. В мешочке 11 альчиков (внешне одинаковых), из которых 5 окрашенных. Первый извлеченный альчик оказался окрашенным. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный второй альчик также окажется окрашенным.

По условию, в мешочке изначально было 11 альчиков, из них 5 — окрашенных.
Событие, которое уже произошло, — это то, что первый извлеченный альчик оказался окрашенным. Это означает, что для второго извлечения состав альчиков в мешочке изменился.
После извлечения одного окрашенного альчика общее количество альчиков в мешочке стало на один меньше:
$11 - 1 = 10$ альчиков.
Количество окрашенных альчиков также уменьшилось на один:
$5 - 1 = 4$ окрашенных альчика.
Теперь нам нужно найти вероятность того, что второй извлеченный альчик также будет окрашенным, при условии, что в мешочке находится 10 альчиков, из которых 4 — окрашенные.
Вероятность этого события ($P$) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов (количество оставшихся окрашенных альчиков) к общему числу возможных исходов (общее количество оставшихся альчиков).
$P = \frac{\text{количество окрашенных альчиков}}{\text{общее количество альчиков}} = \frac{4}{10}$
Сократим полученную дробь:
$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
Ответ: $ \frac{2}{5} $

5.45. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченная сборщиком деталь окажется окрашенной.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Общее число всех равновозможных исходов $n$ равно общему количеству деталей в ящике. Согласно условию задачи, в ящике находится 15 деталей, следовательно, $n = 15$.

Число благоприятствующих исходов $m$ — это количество окрашенных деталей, так как нас интересует вероятность извлечения именно окрашенной детали. По условию, в ящике 10 окрашенных деталей, значит, $m = 10$.

Вероятность $P$ того, что наудачу извлеченная деталь окажется окрашенной, вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

Подставим известные значения в формулу:

$P = \frac{10}{15}$

Для получения окончательного ответа необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя (10) и знаменателя (15) равен 5.

$P = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

Таким образом, вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной, составляет $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

5.46. Монета подбрасывается дважды. Чему равна вероятность того, что «орел» выпадет хотя бы один раз?

Для решения этой задачи определим все возможные исходы при двукратном подбрасывании монеты. У монеты две стороны: «орел» (О) и «решка» (Р). Каждое подбрасывание — это независимое событие.

Возможные комбинации исходов при двух бросках:

1. Первый бросок — орел, второй бросок — орел (О, О)

2. Первый бросок — орел, второй бросок — решка (О, Р)

3. Первый бросок — решка, второй бросок — орел (Р, О)

4. Первый бросок — решка, второй бросок — решка (Р, Р)

Таким образом, общее число равновозможных исходов равно $n = 4$.

Нас интересует событие A, при котором «орел» выпадает хотя бы один раз. Это означает, что орел может выпасть один раз или два раза. Найдем количество исходов, благоприятствующих этому событию. Из перечисленных выше комбинаций нам подходят:

1. (О, О) — орел выпал дважды.

2. (О, Р) — орел выпал один раз.

3. (Р, О) — орел выпал один раз.

Число благоприятных исходов равно $m = 3$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Подставим наши значения:

$P(A) = \frac{3}{4}$

Альтернативный способ решения:

Можно найти вероятность противоположного события (назовем его $\bar{A}$), которое заключается в том, что «орел» не выпадет ни разу. Это означает, что оба раза выпадет «решка». Такой исход только один: (Р, Р).

Вероятность события $\bar{A}$ равна:

$P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$

Сумма вероятностей события и противоположного ему события равна 1, то есть $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. Отсюда можно найти искомую вероятность:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $ \frac{3}{4} $

5.47. В ящике 10 белых и 15 черных шаров. Наудачу извлекается один шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется белым.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных исходов ($n$):
$P = \frac{m}{n}$

Сначала найдем общее число возможных исходов ($n$). В ящике находятся 10 белых и 15 черных шаров. Общее количество шаров, которое можно извлечь, равно сумме белых и черных шаров:
$n = 10 + 15 = 25$
Таким образом, общее число равновозможных исходов равно 25.

Далее определим число благоприятствующих исходов ($m$). Благоприятствующим исходом является извлечение белого шара. Согласно условию, в ящике находится 10 белых шаров, поэтому число исходов, благоприятствующих данному событию, равно:
$m = 10$

Теперь, зная $m$ и $n$, можем вычислить искомую вероятность:
$P = \frac{m}{n} = \frac{10}{25}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$P = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$
Представим результат в виде десятичной дроби:
$P = 0.4$

Ответ: $0.4$

5.48. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найдите относительную частоту появления бракованных книг.

Относительная частота события — это отношение числа наблюдений, в которых событие произошло, к общему числу наблюдений. Формула для вычисления относительной частоты $W$ выглядит так:

$W = \frac{m}{n}$

где:

• $n$ — общее число наблюдений (испытаний);

• $m$ — число наблюдений, в которых событие произошло.

В условиях задачи:

• Общее число случайно отобранных книг: $n = 100$.

• Количество обнаруженных бракованных книг: $m = 5$.

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения относительной частоты появления бракованных книг:

$W = \frac{5}{100} = 0,05$

Ответ: 0,05.

5.49. Двое по очереди бросают монету, причем выигрывает тот, у кого раньше появится «орел». Воспроизведите эту игру 20 раз и найдите относительную частоту выигрыша для начинающего игру.

Для решения задачи необходимо симулировать (воспроизвести) игру 20 раз. В каждой игре двое игроков по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет «орел» (сокращенно О). Противоположная сторона монеты — «решка» (Р). Игрок, начинающий игру (Игрок 1), выигрывает, если «орел» выпадает на 1-м, 3-м, 5-м и т.д. броске. Второй игрок (Игрок 2) выигрывает, если «орел» выпадает на 2-м, 4-м, 6-м и т.д. броске.

Проведем симуляцию 20 игр. Так как результат броска монеты — это случайное событие, конкретная последовательность результатов может отличаться при каждом новом воспроизведении эксперимента. Ниже приведен один из возможных вариантов результатов 20 игр:

1. О (Победа Игрока 1)
2. РО (Победа Игрока 2)
3. РРО (Победа Игрока 1)
4. О (Победа Игрока 1)
5. РО (Победа Игрока 2)
6. О (Победа Игрока 1)
7. О (Победа Игрока 1)
8. РРРО (Победа Игрока 2)
9. О (Победа Игрока 1)
10. РО (Победа Игрока 2)
11. РРО (Победа Игрока 1)
12. О (Победа Игрока 1)
13. РРРРО (Победа Игрока 1)
14. О (Победа Игрока 1)
15. РО (Победа Игрока 2)
16. О (Победа Игрока 1)
17. О (Победа Игрока 1)
18. РО (Победа Игрока 2)
19. РРО (Победа Игрока 1)
20. РО (Победа Игрока 2)

Теперь подсчитаем количество выигрышей для игрока, который начинал игру (Игрок 1). В представленной симуляции он выиграл 13 раз.

Относительная частота события вычисляется по формуле: $W = \frac{m}{n}$, где $m$ — количество благоприятных исходов (в данном случае, выигрышей начинающего), а $n$ — общее число испытаний (игр).

Подставляем наши значения: $m = 13$ и $n = 20$.

Относительная частота выигрыша для начинающего игру равна: $W = \frac{13}{20} = 0.65$.

Ответ: Относительная частота выигрыша для начинающего игру в данной серии из 20 экспериментов составила $\frac{13}{20}$.

5.50. Составьте таблицу частот букв казахского алфавита, используя текст гимна Республики Казахстан.

Для составления таблицы частот букв казахского алфавита был взят официальный текст государственного гимна Республики Казахстан «Менің Қазақстаным». Процесс включал в себя подсчет количества каждой буквы в тексте и последующее вычисление их относительной частоты.

1. Текст гимна

Анализ проводился на основе следующего полного текста гимна (куплеты и припевы):

Алтын күн аспаны,
Алтын дән даласы,
Ерліктің дастаны,
Еліме қарашы!
Ежелден ер деген,
Даңқымыз шықты ғой.
Намысын бермеген,
Қазағым мықты ғой!

Припев:
Менің елім, менің елім,
Гүлің болып егілемін,
Жырың болып төгілемін, елім!
Туған жерім менің — Қазақстаным!

Ұрпаққа жол ашқан,
Кең байтақ жерім бар.
Бірлігі жарасқан,
Тәуелсіз елім бар.
Қарсы алған уақытты,
Мәңгілік досындай.
Біздің ел бақытты,
Біздің ел осындай!

Припев:
Менің елім, менің елім,
Гүлің болып егілемін,
Жырың болып төгілемін, елім!
Туған жерім менің — Қазақстаным!

2. Методология подсчета

При анализе текста знаки препинания и пробелы не учитывались. Все буквы были приведены к нижнему регистру для корректного подсчета. Общее количество букв в тексте гимна составило $N = 451$.

Относительная частота ($f$) каждой буквы вычислялась по формуле:

$f = \frac{n}{N}$

где $n$ — количество появлений конкретной буквы в тексте (абсолютная частота), а $N$ — общее количество букв.

3. Таблица частот букв

Ниже приведена итоговая таблица, содержащая абсолютную и относительную частоту для каждой буквы казахского алфавита на основе текста гимна. Частота представлена в виде десятичной дроби (с округлением до 4 знаков) и в процентах.

Буква | Абсолютная частота (n) | Относительная частота (f)
А | 42 | ≈ 0.0931 (9.31%)
Ә | 1 | ≈ 0.0022 (0.22%)
Б | 7 | ≈ 0.0155 (1.55%)
В | 0 | 0.0000 (0.00%)
Г | 7 | ≈ 0.0155 (1.55%)
Ғ | 4 | ≈ 0.0089 (0.89%)
Д | 12 | ≈ 0.0266 (2.66%)
Е | 36 | ≈ 0.0798 (7.98%)
Ё | 0 | 0.0000 (0.00%)
Ж | 5 | ≈ 0.0111 (1.11%)
З | 5 | ≈ 0.0111 (1.11%)
И | 10 | ≈ 0.0222 (2.22%)
Й | 4 | ≈ 0.0089 (0.89%)
К | 10 | ≈ 0.0222 (2.22%)
Қ | 11 | ≈ 0.0244 (2.44%)
Л | 19 | ≈ 0.0421 (4.21%)
М | 18 | ≈ 0.0399 (3.99%)
Н | 35 | ≈ 0.0776 (7.76%)
Ң | 11 | ≈ 0.0244 (2.44%)
О | 10 | ≈ 0.0222 (2.22%)
Ө | 2 | ≈ 0.0044 (0.44%)
П | 3 | ≈ 0.0066 (0.66%)
Р | 17 | ≈ 0.0377 (3.77%)
С | 15 | ≈ 0.0333 (3.33%)
Т | 16 | ≈ 0.0355 (3.55%)
У | 5 | ≈ 0.0111 (1.11%)
Ұ | 2 | ≈ 0.0044 (0.44%)
Ү | 3 | ≈ 0.0066 (0.66%)
Ф | 0 | 0.0000 (0.00%)
Х | 0 | 0.0000 (0.00%)
Һ | 0 | 0.0000 (0.00%)
Ц | 0 | 0.0000 (0.00%)
Ч | 0 | 0.0000 (0.00%)
Ш | 6 | ≈ 0.0133 (1.33%)
Щ | 0 | 0.0000 (0.00%)
Ъ | 0 | 0.0000 (0.00%)
Ы | 21 | ≈ 0.0466 (4.66%)
І | 21 | ≈ 0.0466 (4.66%)
Ь | 0 | 0.0000 (0.00%)
Э | 0 | 0.0000 (0.00%)
Ю | 0 | 0.0000 (0.00%)
Я | 0 | 0.0000 (0.00%)

Ответ: Таблица частот букв казахского алфавита на основе текста гимна представлена выше. Самой частотной буквой является «А» (9.31%), за ней следуют «Е» (7.98%) и «Н» (7.76%). Двенадцать букв алфавита в тексте гимна не встречаются.

5.51. Используя условие задачи 5.27, оцените вероятность прорастания отдельного семени в этой партии.

Для решения этой задачи необходимо правильно интерпретировать ее условие. Задача 5.51 предлагает, используя условие задачи 5.27, оценить вероятность прорастания отдельного семени. Условие задачи 5.27, на которое ссылается данное задание, формулируется следующим образом: "Вероятность прорастания семян некоторой культуры равна 0,75. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян прорастет ровно 80?".

Ключевым моментом является то, что задача 5.51 просит оценить вероятность, а не использовать данное в задаче 5.27 значение $p=0,75$. Статистическая оценка параметра основывается на результатах наблюдений (экспериментальных данных). В данном контексте, "условие задачи 5.27" следует трактовать как описание гипотетического экспериментального результата: было проведено $n=100$ испытаний (посеяно 100 семян), в результате которых было зафиксировано $k=80$ успехов (проросло 80 семян). На основе этих данных нам и предстоит оценить вероятность $p$ прорастания одного семени.

Наилучшей точечной оценкой вероятности успеха в схеме испытаний Бернулли является относительная частота (или выборочная доля). Эта оценка является несмещенной и состоятельной, а также совпадает с оценкой, полученной методом максимального правдоподобия. Оценка $\hat{p}$ вычисляется по формуле:

$\hat{p} = \frac{k}{n}$

где $k$ — число успешных исходов (проросших семян), а $n$ — общее число испытаний (посеянных семян).

Подставим известные из условия значения в формулу:

$k = 80$

$n = 100$

Тогда оценка искомой вероятности будет равна:

$\hat{p} = \frac{80}{100} = 0,8$

Таким образом, оценка вероятности прорастания отдельного семени, основанная на наблюдаемых данных, составляет 0,8. Значение $p=0,75$ из задачи 5.27 было необходимо для решения той задачи (найти вероятность конкретного исхода), но для задачи оценки 5.51 мы используем эмпирические данные ($n=100, k=80$).

Ответ: 0,8

5.52. Для контроля качества продукции одного завода из каждой партии готовых изделий выбирают для проверки 100 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 8 изделий. Чему равна вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода будет качественным? Сколько примерно бракованных изделий будет в партии из 1000 единиц?

Чему равна вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода будет качественным?

Согласно условию задачи, для контроля качества из партии выбирают 100 деталей, и в среднем 8 из них не выдерживают проверку, то есть являются бракованными. Чтобы найти количество качественных изделий в этой выборке, нужно из общего числа изделий вычесть число бракованных:

Количество качественных изделий = $100 - 8 = 92$

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. В данном случае, благоприятным исходом является выбор качественного изделия.

Общее число исходов (всего деталей в выборке) равно 100.

Число благоприятных исходов (качественных деталей) равно 92.

Следовательно, вероятность $P$ того, что наугад взятое изделие будет качественным, равна:

$P(\text{качественное}) = \frac{\text{количество качественных изделий}}{\text{общее количество изделий}} = \frac{92}{100} = 0,92$

Ответ: 0,92.

Сколько примерно бракованных изделий будет в партии из 1000 единиц?

Сначала определим частоту (вероятность) появления бракованного изделия. Из 100 изделий 8 являются бракованными. Значит, вероятность $P(\text{брак})$ того, что случайно выбранное изделие окажется бракованным, составляет:

$P(\text{брак}) = \frac{\text{количество бракованных изделий}}{\text{общее количество изделий}} = \frac{8}{100} = 0,08$

Эта вероятность показывает, какую долю от общего числа составляют бракованные изделия. Чтобы найти примерное количество бракованных изделий в партии из 1000 единиц, нужно умножить общее количество изделий в этой партии на вероятность брака:

Примерное количество бракованных изделий = $1000 \times P(\text{брак}) = 1000 \times 0,08 = 80$

Таким образом, в партии из 1000 единиц будет примерно 80 бракованных изделий.

Ответ: 80.

5.53. Монета подбрасывается трижды. Чему равна вероятность того, что «орел» выпадет хотя бы один раз?

Для нахождения вероятности того, что «орел» выпадет хотя бы один раз при трех подбрасываниях монеты, удобнее всего вычислить вероятность противоположного события.

Пусть событие $A$ — это «орел выпадет хотя бы один раз».

Тогда противоположное ему событие $\bar{A}$ — это «орел не выпадет ни разу», что эквивалентно тому, что все три раза выпадет «решка».

Вероятность выпадения «решки» при одном подбрасывании монеты составляет $1/2$. Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что «решка» выпадет три раза подряд, вычисляется как произведение вероятностей:

$P(\bar{A}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

Следовательно, искомая вероятность события $A$ равна:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Этот результат можно проверить, перечислив все возможные исходы. При трех бросках существует $2^3 = 8$ равновероятных комбинаций (О – орел, Р – решка):
1. ООО
2. ООР
3. ОРО
4. ОРР
5. РОО
6. РОР
7. РРО
8. РРР

Из этих 8 исходов ровно 7 содержат хотя бы одного «орла». Единственный исход, не удовлетворяющий условию, — это РРР. Таким образом, число благоприятных исходов равно 7. Вероятность по классическому определению равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $\frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.