Страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.82. Точка $C$ является серединой отрезка $AB$, длина которого равна 20 см. На отрезке $AB$ наудачу отмечается точка. Если все точки отрезка $AB$ могут быть отмечены с равными возможностями, то какова вероятность того, что отмеченная точка принадлежит отрезку $BC$?

Эта задача относится к области геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае — длины) благоприятствующего множества исходов к мере всего пространства возможных исходов.

Изобразим отрезок AB и точку C на нем:

1. Пространство всех возможных исходов — это выбор точки на отрезке AB. Мерой этого пространства является длина отрезка AB.
По условию, длина отрезка AB равна 20 см. Обозначим ее $L_{AB}$.
$L_{AB} = 20$ см.

2. Благоприятствующий исход — это попадание отмеченной точки в отрезок BC. Мерой этого множества является длина отрезка BC.
По условию, точка C является серединой отрезка AB. Это означает, что она делит отрезок AB на два равных отрезка: AC и BC.
Следовательно, длина отрезка BC равна половине длины отрезка AB.
$L_{BC} = \frac{L_{AB}}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

3. Теперь найдем вероятность $P$ того, что отмеченная точка принадлежит отрезку BC. Она равна отношению длины отрезка BC к длине отрезка AB.
$P = \frac{\text{длина благоприятствующего отрезка}}{\text{длина всего отрезка}} = \frac{L_{BC}}{L_{AB}}$
Подставляем найденные значения:
$P = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5.

5.83. Отрезок разделен на три равные части. Какова вероятность того, что наудачу взятая точка отрезка принадлежит ее средней части?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Согласно этому определению, вероятность попадания точки в некоторую область пропорциональна мере (в данном случае — длине) этой области.

Пусть длина всего отрезка равна $L$. По условию, он разделен на три равные части. Следовательно, длина каждой части равна $\frac{L}{3}$.

Визуально представим отрезок:

Областью всех возможных исходов является весь отрезок, его длина равна $L$.

Событие, вероятность которого мы ищем, — это попадание наудачу взятой точки в среднюю часть отрезка. Эта часть является областью благоприятствующих исходов, и ее длина равна $\frac{L}{3}$.

Вероятность $P$ данного события равна отношению длины благоприятствующей части к длине всего отрезка:

$P = \frac{\text{длина средней части}}{\text{длина всего отрезка}}$

Подставляем известные значения в формулу:

$P = \frac{\frac{L}{3}}{L}$

Сокращая $L$ в числителе и знаменателе, получаем:

$P = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

5.84. Внутри единичного квадрата случайно отмечена точка А. Найдите вероятность того, что расстояние от точки А до определенной стороны квадрата не превышает числа $a$ $(0 < a < 0.5)$.

Для решения данной задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, площади) области, благоприятствующей этому событию, к мере всей области возможных исходов. Вся область исходов — это единичный квадрат, а точка $A$ выбирается в нем случайно, что подразумевает равномерное распределение.

Площадь единичного квадрата, который является пространством всех возможных положений точки $A$, равна $S_{общ} = 1 \times 1 = 1$.

Рассмотрим множество точек внутри квадрата, для которых выполняется заданное условие. Условие состоит в том, что расстояние от точки $A$ до определенной (конкретной, фиксированной) стороны квадрата не превышает числа $a$.

Для наглядности поместим квадрат в декартову систему координат, так чтобы его вершины находились в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ и $(0, 1)$. Пусть точка $A$ имеет координаты $(x, y)$.

Выберем в качестве "определенной" стороны верхнюю сторону квадрата. Уравнение прямой, содержащей эту сторону, — $y=1$. Расстояние от точки $A(x,y)$ до этой прямой равно $1-y$ (поскольку $y \le 1$).

Условие "расстояние не превышает $a$" запишется в виде неравенства: $1-y \le a$. Отсюда получаем $y \ge 1-a$.

Таким образом, благоприятствующая область — это множество всех точек $(x, y)$ внутри квадрата, для которых выполняются условия:

$0 \le x \le 1$

$1-a \le y \le 1$

Эта область представляет собой прямоугольник с высотой $1 - (1-a) = a$ и шириной $1$. Площадь этой благоприятствующей области $S_{бл}$ равна:

$S_{бл} = 1 \times a = a$.

Заданное в условии ограничение $0 < a < 0,5$ обеспечивает, что рассматриваемая область является собственным подмножеством квадрата и не пересекается с аналогичной областью у противоположной (нижней) стороны.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению площади благоприятствующей области к общей площади квадрата:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{a}{1} = a$

Результат не зависит от того, какая именно сторона квадрата была выбрана в качестве "определенной". Для любой из четырех сторон площадь благоприятной области будет прямоугольником со сторонами $1$ и $a$, и его площадь будет равна $a$.

Ответ: $a$.

5.85. Внутри квадрата со стороной $a$ случайно отмечена точка. Какова вероятность того, что эта точка принадлежит кругу, вписанному в этот квадрат?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Согласно этому определению, искомая вероятность $P$ равна отношению площади области, попадание в которую является благоприятным исходом (вписанный круг), к площади всей области, в которой может оказаться точка (квадрат). Пусть сторона квадрата равна $a$.

Площадь квадрата ($S_{квадрата}$), который представляет собой все пространство возможных исходов, вычисляется по формуле:

$S_{квадрата} = a \cdot a = a^2$

Областью благоприятных исходов является круг, вписанный в квадрат. Такой круг касается всех четырех сторон квадрата, поэтому его диаметр равен стороне квадрата $a$. Радиус круга $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{a}{2}$

Площадь вписанного круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:

$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$

Вероятность $P$ того, что случайно выбранная точка окажется внутри круга, равна отношению площади круга к площади квадрата:

$P = \frac{S_{круга}}{S_{квадрата}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{a^2}$

Сократив $a^2$ в числителе и знаменателе, получаем окончательный результат:

$P = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, вероятность не зависит от размера стороны квадрата.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

5.86. Внутри равностороннего треугольника со стороной $a$ случайно отмечена точка. Какова вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику, образованному средними линиями данного треугольника?

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) области благоприятных исходов к мере всей области возможных исходов.

Пусть дан равносторонний треугольник $\triangle ABC$ со стороной $a$. Это пространство всех возможных положений точки. Его площадь $S_{total}$ вычисляется по формуле:

$S_{total} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что точка попадет в треугольник, образованный средними линиями данного треугольника. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Проведем все три средние линии в $\triangle ABC$. Пусть $M$, $N$ и $K$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Средние линии $MN$, $NK$ и $MK$ образуют внутренний треугольник $\triangle MNK$.

Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна ее половине. Следовательно, все стороны треугольника $\triangle MNK$ равны $\frac{a}{2}$.

$MN = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$

$NK = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$

$MK = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$

Таким образом, треугольник $\triangle MNK$ также является равносторонним. Площадь этого треугольника $S_{fav}$ (область благоприятных исходов) равна:

$S_{fav} = \frac{(\frac{a}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$

Искомая вероятность $P$ равна отношению площади благоприятных исходов к общей площади:

$P = \frac{S_{fav}}{S_{total}} = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{16}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16} \cdot \frac{4}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Стоит также отметить, что три средние линии делят исходный равносторонний треугольник на четыре равных между собой равносторонних треугольника. Область благоприятных исходов — это один из этих четырех треугольников (центральный). Следовательно, его площадь составляет $\frac{1}{4}$ от общей площади, и вероятность попадания точки в него равна $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

5.87. Используя задачу 5.84, найти вероятность того, что расстояние от точки А до:

1) определенной вершины квадрата;

2) центра квадрата не превышает числа $a$ ($0

Для решения задачи используется метод геометрической вероятности. Предполагается, что точка А выбирается случайным образом и равновероятно из любой точки внутри квадрата. Для удобства расчетов будем рассматривать единичный квадрат со стороной 1. Пусть его вершины находятся в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Площадь этого квадрата, которая представляет собой пространство всех возможных исходов, равна $S_{общ} = 1^2 = 1$. Вероятность искомого события вычисляется как отношение площади области благоприятных исходов к общей площади квадрата: $P = \frac{S_{благопр}}{S_{общ}}$.

1) расстояние от точки А до определенной вершины квадрата

Пусть точка А имеет координаты $(x, y)$, где $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$. Выберем одну определенную вершину квадрата, например, ту, что находится в начале координат, V(0,0). Расстояние $d$ от точки A до этой вершины определяется формулой $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что это расстояние не превышает числа $a$. Математически это записывается как неравенство $d \le a$, или $\sqrt{x^2 + y^2} \le a$, что эквивалентно $x^2 + y^2 \le a^2$.

Это неравенство описывает множество точек, находящихся внутри или на окружности с центром в вершине (0,0) и радиусом $a$. Областью благоприятных исходов является пересечение этого круга с единичным квадратом. Поскольку точка A по определению находится внутри квадрата, а центр круга совпадает с одной из его вершин, то благоприятной областью будет сектор круга, находящийся в первом координатном угле, то есть четверть круга. Условие $0 < a < 0,5$ гарантирует, что эта четверть круга целиком лежит внутри квадрата.

Площадь полного круга радиуса $a$ равна $\pi a^2$. Следовательно, площадь благоприятной области (четверти круга) составляет $S_{благопр_1} = \frac{1}{4} \pi a^2$.

Вероятность того, что расстояние от точки А до определенной вершины квадрата не превышает $a$, вычисляется как:

$P_1 = \frac{S_{благопр_1}}{S_{общ}} = \frac{\frac{1}{4} \pi a^2}{1} = \frac{\pi a^2}{4}$

Ответ: $P_1 = \frac{\pi a^2}{4}$.

2) расстояние от точки А до центра квадрата

Центр единичного квадрата [0,1]x[0,1] расположен в точке C с координатами (0.5, 0.5). Расстояние $d$ от случайной точки A(x, y) до центра C равно $d = \sqrt{(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2}$.

Условие, что расстояние не превышает $a$, записывается в виде неравенства: $d \le a$, или $(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 \le a^2$.

Это неравенство описывает круг с центром в точке (0.5, 0.5) и радиусом $a$. Необходимо проверить, лежит ли этот круг полностью внутри квадрата. Координаты любой точки $(x, y)$ на окружности удовлетворяют условиям $0.5 - a \le x \le 0.5 + a$ и $0.5 - a \le y \le 0.5 + a$. Согласно условию задачи $0 < a < 0.5$, из чего следует, что $0 < 0.5 - a$ и $0.5 + a < 1$. Таким образом, для всех точек круга выполняются неравенства $0 < x < 1$ и $0 < y < 1$, а значит, весь круг целиком содержится внутри единичного квадрата.

Следовательно, область благоприятных исходов — это круг радиуса $a$, и его площадь равна $S_{благопр_2} = \pi a^2$.

Вероятность того, что расстояние от точки А до центра квадрата не превышает $a$, равна:

$P_2 = \frac{S_{благопр_2}}{S_{общ}} = \frac{\pi a^2}{1} = \pi a^2$

Ответ: $P_2 = \pi a^2$.