Страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.79. Упростите выражения:

1) $(\frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x}) \cdot (\frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1})$;

2) $(\frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}}) \cdot (\frac{4ab}{b^2 - a^2})^{-1}$.

1) $ \left( \frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x} \right) \cdot \left( \frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1} \right) $

Сначала упростим выражение в первой скобке. В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки: $ y - x = -(x - y) $. Это позволит изменить знак перед дробью.

$ \frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{y - x} = \frac{ax - y}{x + y} - \frac{ay + x}{-(x - y)} = \frac{ax - y}{x + y} + \frac{ay + x}{x - y} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 $:

$ \frac{(ax - y)(x - y) + (ay + x)(x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{(ax^2 - axy - xy + y^2) + (axy + ay^2 + x^2 + xy)}{x^2 - y^2} $

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{ax^2 - \cancel{axy} - \cancel{xy} + y^2 + \cancel{axy} + ay^2 + x^2 + \cancel{xy}}{x^2 - y^2} = \frac{ax^2 + x^2 + ay^2 + y^2}{x^2 - y^2} $

Вынесем общие множители в числителе:

$ \frac{x^2(a + 1) + y^2(a + 1)}{x^2 - y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(a + 1)}{x^2 - y^2} $

Теперь упростим выражение во второй скобке. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} : \frac{x^2 + y^2}{a - 1} = \frac{x^2 - y^2}{a^2 - 1} \cdot \frac{a - 1}{x^2 + y^2} $

Разложим $ a^2 - 1 $ по формуле разности квадратов как $ (a - 1)(a + 1) $ и сократим дробь:

$ \frac{x^2 - y^2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{(a + 1)(x^2 + y^2)} $

Наконец, перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$ \frac{(x^2 + y^2)(a + 1)}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{(a + 1)(x^2 + y^2)} = 1 $

Ответ: 1

2) $ \left( \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} \right) \cdot \left( \frac{4ab}{b^2 - a^2} \right)^{-1} $

Начнем с упрощения выражений с отрицательными степенями: $ a^{-1} = \frac{1}{a} $ и $ b^{-1} = \frac{1}{b} $. Преобразуем дроби в первой скобке.

Первая дробь: $ \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{b - a}{ab}}{\frac{b + a}{ab}} = \frac{b - a}{b + a} $.

Вторая дробь: $ \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{b + a}{b - a} $.

Подставим упрощенные дроби в первую скобку и выполним вычитание:

$ \frac{b - a}{b + a} - \frac{b + a}{b - a} = \frac{(b - a)^2 - (b + a)^2}{(b + a)(b - a)} $

Применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $ к числителю, где $ A = b - a $ и $ B = b + a $:

$ \frac{(b - a - (b + a))(b - a + b + a)}{b^2 - a^2} = \frac{(b - a - b - a)(2b)}{b^2 - a^2} = \frac{(-2a)(2b)}{b^2 - a^2} = \frac{-4ab}{b^2 - a^2} $

Теперь упростим вторую часть исходного выражения. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:

$ \left( \frac{4ab}{b^2 - a^2} \right)^{-1} = \frac{b^2 - a^2}{4ab} $

Перемножим полученные результаты:

$ \frac{-4ab}{b^2 - a^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{4ab} = -1 $

Ответ: -1

5.80. Решите уравнение $|x+3|=2x-1$.

Данное уравнение $|x+3|=2x-1$ является уравнением с модулем. Решить его можно несколькими способами.

Способ 1: Раскрытие модуля по определению

По определению, модуль числа — это само число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно. Важным условием является то, что значение модуля всегда неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что правая часть уравнения не может быть отрицательной:

$2x-1 \ge 0$

$2x \ge 1$

$x \ge 1/2$

Любые решения, которые мы найдем, должны удовлетворять этому условию.

2. Теперь рассмотрим два случая для выражения под знаком модуля.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x+3 \ge 0$, что означает $x \ge -3$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком "плюс":

$x+3 = 2x-1$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3+1 = 2x-x$

$x = 4$

Проверяем, соответствует ли корень $x=4$ условиям этого случая ($x \ge -3$) и ОДЗ ($x \ge 1/2$). Да, $4 \ge -3$ и $4 \ge 1/2$. Следовательно, $x=4$ является корнем уравнения.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $x+3 < 0$, что означает $x < -3$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком "минус":

$-(x+3) = 2x-1$

$-x-3 = 2x-1$

Решаем полученное уравнение:

$-3+1 = 2x+x$

$-2 = 3x$

$x = -2/3$

Проверяем, соответствует ли корень $x = -2/3$ условию этого случая ($x < -3$). Условие не выполняется, так как $-2/3$ не меньше $-3$. Также этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1/2$). Следовательно, $x = -2/3$ — посторонний корень.

Объединяя результаты двух случаев, получаем единственный корень.

Способ 2: Возведение в квадрат

Поскольку обе части уравнения неотрицательны (левая — по определению модуля, а для правой мы ввели ограничение $2x-1 \ge 0$), мы можем возвести обе части в квадрат:

$(|x+3|)^2 = (2x-1)^2$

$(x+3)^2 = (2x-1)^2$

Раскрываем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 6x + 9 = 4x^2 - 4x + 1$

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 4x^2 - x^2 - 4x - 6x + 1 - 9$

$3x^2 - 10x - 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -2/3$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1/2$):

Для $x_1 = 4$: $4 \ge 1/2$. Корень подходит.

Для $x_2 = -2/3$: $-2/3 \ge 1/2$. Неверно. Это посторонний корень.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 4

5.81. Упростите выражения:

1) $\frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x + \sin(\pi - x)} - \frac{\operatorname{tg} x \cdot \cos(\pi - x)}{2}$;

2) $\frac{2 \sin \varphi \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right)}{2 \cos^2 \varphi - 1}$.

1)

Для упрощения выражения $\frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x + \sin(\pi - x)} - \frac{\text{tg}x \cdot \cos(\pi - x)}{2}$ выполним преобразования по частям.

Сначала упростим первую дробь: $\frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x + \sin(\pi - x)}$.

В числителе применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1^2 - \cos^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

В знаменателе используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$:

$\sin x + \sin(\pi - x) = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Таким образом, первая дробь равна $\frac{\sin^2 x}{2\sin x} = \frac{\sin x}{2}$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{\text{tg}x \cdot \cos(\pi - x)}{2}$.

Используем определение тангенса $\text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$:

$\text{tg}x \cdot \cos(\pi - x) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x$.

Вторая дробь равна $\frac{-\sin x}{2}$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\frac{\sin x}{2} - \frac{-\sin x}{2} = \frac{\sin x}{2} + \frac{\sin x}{2} = \frac{2\sin x}{2} = \sin x$.

Ответ: $\sin x$.

2)

Для упрощения выражения $\frac{2 \sin \varphi \cdot \sin(\frac{\pi}{2} + \varphi)}{2 \cos^2 \varphi - 1}$ рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

В числителе применим формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + \varphi) = \cos \varphi$.

Числитель примет вид: $2 \sin \varphi \cdot \cos \varphi$.

Это формула синуса двойного угла: $2 \sin \varphi \cos \varphi = \sin(2\varphi)$.

Знаменатель $2 \cos^2 \varphi - 1$ является одной из формул косинуса двойного угла: $2 \cos^2 \varphi - 1 = \cos(2\varphi)$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{\sin(2\varphi)}{\cos(2\varphi)}$.

По определению тангенса, $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha$, следовательно:

$\frac{\sin(2\varphi)}{\cos(2\varphi)} = \text{tg}(2\varphi)$.

Ответ: $\text{tg}(2\varphi)$.