Страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.25. Из 20 выстрелов в мишень зарегистрировано 18 попаданий. Найдите относительную частоту попаданий в мишень.

Относительная частота события — это отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу всех проведенных испытаний.

В данном случае, событие — это попадание в мишень.

Общее число испытаний (количество выстрелов) равно $N = 20$.

Число наступления события (количество попаданий) равно $M = 18$.

Относительная частота вычисляется по формуле:

$W = \frac{M}{N}$

Подставим значения в формулу:

$W = \frac{18}{20}$

Для удобства можно сократить дробь на 2 или сразу перевести ее в десятичную:

$W = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} = 0,9$

Следовательно, относительная частота попаданий в мишень составляет 0,9.

Ответ: 0,9.

5.26. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найдите количество годных приборов, если испытано всего 200 приборов.

Относительная частота события вычисляется как отношение числа исходов, в которых это событие наступило, к общему числу проведенных испытаний.

Обозначим:

$n$ – общее количество испытанных приборов;

$m$ – количество годных приборов (число "успешных" испытаний);

$W$ – относительная частота годных приборов.

Формула для нахождения относительной частоты выглядит следующим образом:

$W = \frac{m}{n}$

По условию задачи нам даны:

Общее количество испытанных приборов $n = 200$.

Относительная частота годных приборов $W = 0,9$.

Для того чтобы найти количество годных приборов $m$, необходимо выразить его из формулы:

$m = W \cdot n$

Теперь подставим известные значения в эту формулу и произведем вычисление:

$m = 0,9 \cdot 200 = 180$

Следовательно, количество годных приборов в партии равно 180.

Ответ: 180

5.27. Для проверки на всхожесть было посеяно 200 семян, из которых 170 проросло. Сколько семян в среднем взойдет из каждой тысячи посеянных?

Для того чтобы определить, сколько семян в среднем взойдет из каждой тысячи, необходимо сначала найти частоту всхожести на основе данных эксперимента. Частота всхожести — это отношение количества проросших семян к общему количеству посеянных семян.

В условии сказано, что из 200 посеянных семян проросло 170. Рассчитаем частоту всхожести:
$f = \frac{170}{200}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 20:
$f = \frac{170 \div 20}{200 \div 20} = \frac{8,5}{10} = 0,85$
Это означает, что всхожесть семян составляет 85%.

Теперь, зная, что в среднем прорастает 85% семян, мы можем найти, сколько семян взойдет из 1000 посеянных. Для этого умножим общее количество семян на найденную частоту всхожести:
Количество взошедших семян = $1000 \cdot 0,85 = 850$

Другой способ решения — с помощью пропорции. Пусть $x$ — это количество семян, которое в среднем взойдет из 1000. Соотношение проросших семян к общему числу посеянных должно быть постоянным:
$\frac{170 \text{ семян}}{200 \text{ семян}} = \frac{x \text{ семян}}{1000 \text{ семян}}$
Чтобы найти $x$, решим эту пропорцию:
$x = \frac{170 \cdot 1000}{200}$
$x = 170 \cdot 5$
$x = 850$

Ответ: 850 семян.

5.28. Найдите частоту появления буквы «к» в тексте этой страницы данного учебника.

Для нахождения частоты появления события необходимо определить относительную частоту. Относительная частота вычисляется по формуле как отношение количества наступлений интересующего нас события к общему числу проведенных испытаний. В контексте данной задачи, нам нужно найти отношение количества букв «к» к общему количеству всех букв в тексте.

Так как полный текст страницы учебника, упомянутой в задании, недоступен, мы проведем анализ на основе единственного предоставленного текста — самого текста задания: "Найдите частоту появления буквы «к» в тексте этой страницы данного учебника.".

Подсчет общего количества букв в тексте ($N_{общ}$)
Первым шагом посчитаем общее количество букв в анализируемой фразе, игнорируя цифры, пробелы и знаки препинания (кроме буквы «к» в кавычках, так как она является частью анализа).
Текст: "Найдите частоту появления буквы к в тексте этой страницы данного учебника".
Общее количество букв составляет: $7 (Найдите) + 7 (частоту) + 8 (появления) + 5 (буквы) + 1 (к) + 1 (в) + 6 (тексте) + 4 (этой) + 8 (страницы) + 7 (данного) + 8 (учебника) = 62$.
Таким образом, $N_{общ} = 62$.

Подсчет количества появлений буквы «к» ($N_к$)
Теперь найдем все вхождения буквы «к» в тексте:
"Найдите частоту появления буквы «к» в тексте этой страницы данного учебника."
Буква «к» встречается в тексте 4 раза.
Следовательно, $N_к = 4$.

Расчет частоты
Частота $P(к)$ появления буквы «к» вычисляется как отношение $N_к$ к $N_{общ}$:
$P(к) = \frac{N_к}{N_{общ}} = \frac{4}{62} = \frac{2}{31}$
Для удобства можно представить этот результат в виде десятичной дроби, округлив до тысячных:
$P(к) = \frac{2}{31} \approx 0.064516... \approx 0.065$

Ответ: Частота появления буквы «к» в тексте задания равна $\frac{2}{31}$ (или приблизительно $0.065$).

5.29. Найдите частоту слов из шести букв в любом газетном тексте.

Для нахождения частоты слов из шести букв в газетном тексте необходимо провести статистический анализ. Это практическая задача, результат которой зависит от выбранного текста. Продемонстрируем решение на конкретном примере.

Сначала выберем фрагмент текста для анализа. Возьмем в качестве примера отрывок из новостной статьи (современный аналог газеты):

«Президент России Владимир Путин в пятницу в Харбине возложил цветы к памятнику советским воинам, павшим в боях за освобождение Китая. Глава российского государства прибыл к монументу вместе с заместителем председателя КНР Хань Чжэном. Военнослужащие почетного караула Народно-освободительной армии Китая (НОАК) установили к мемориалу корзину с цветами от российского лидера, на ленте которой было написано: "Вечная слава героям, павшим в боях за независимость и свободу Китая". Путин подошел к монументу, поправил ленты и почтил память павших воинов минутой молчания. Затем прозвучали гимны России и Китая в исполнении военного оркестра. После этого глава государства пообщался с российскими и китайскими ветеранами.»

Далее подсчитаем общее количество слов в данном фрагменте, которое обозначим как $N_{общ}$. Словом считается любая последовательность букв, включая аббревиатуры. В данном тексте 98 слов, следовательно, $N_{общ} = 98$.

Теперь выделим из текста все слова, состоящие ровно из шести букв, и подсчитаем их количество $N_{6}$. Это слова: России, воинам, павшим, прибыл, вместе, Чжэном, лидера, Вечная, героям, павшим, почтил, память, павших, воинов, России. Общее число таких слов в данном тексте равно 15, то есть $N_{6} = 15$.

Частота (или относительная частота) появления слова из шести букв вычисляется как отношение числа таких слов к общему количеству слов в тексте:

$P = \frac{N_{6}}{N_{общ}} = \frac{15}{98}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{15}{98} \approx 0.15306$

Округлив результат до тысячных, получаем, что частота составляет примерно 0.153. Если выразить это значение в процентах, то получится $15.3\%$.

Следует отметить, что полученный результат является оценкой, действительной для конкретного, небольшого фрагмента текста. Для получения более точной и обобщенной частоты для газетного стиля русского языка требуется анализ значительно большего объема текстовых данных.

Ответ: Частота слов из шести букв в проанализированном газетном тексте составляет $\frac{15}{98} \approx 0.153$, или около $15.3\%$.

5.30. Найдите частоту имен существительных в любом газетном тексте.

Для того чтобы найти частоту имен существительных в газетном тексте, необходимо выполнить статистический анализ конкретного текстового фрагмента. Под частотой (или относительной частотой) понимают отношение числа интересующих нас событий (в данном случае — появления имени существительного) к общему числу всех возможных событий (общему количеству слов в тексте). Результат этого анализа может незначительно меняться в зависимости от выбранной статьи, ее тематики и стиля.

Проведем исследование на примере следующей новостной заметки:

«Сильный снегопад обрушился на Москву в ночь на среду. Коммунальные службы города работают в усиленном режиме для расчистки дорог и тротуаров. По прогнозам синоптиков, осадки продолжатся в течение всего дня. Власти столицы призывают водителей быть предельно внимательными на дорогах и по возможности пользоваться общественным транспортом. На данный момент задержек в движении транспорта не наблюдается, однако ситуация может измениться. Горожанам рекомендуется соблюдать осторожность.»

Первым шагом подсчитаем общее количество слов в данном фрагменте. Учитывая все части речи, включая служебные, получаем, что общее число слов $n$ равно 62.

Вторым шагом выделим и подсчитаем все имена существительные в тексте. К ним относятся: снегопад, Москву, ночь, среду, службы, города, режиме, расчистки, дорог, тротуаров, прогнозам, синоптиков, осадки, течение, дня, власти, столицы, водителей, дорогах, возможности, транспортом, момент, задержек, движении, транспорта, ситуация, горожанам, осторожность. Общее количество существительных $k$ составляет 28.

Теперь можно вычислить частоту $W$ по формуле:

$W = \frac{k}{n}$

Подставим в формулу полученные значения:

$W = \frac{28}{62} \approx 0,4516$

Округлив результат, получим, что частота имен существительных в выбранном тексте составляет примерно 0,45. Это значение также можно представить в виде процентов: $0,4516 \times 100\% \approx 45,2\%$.

Ответ: Частота имен существительных в проанализированном газетном тексте, состоящем из 62 слов, составила $W = \frac{28}{62} \approx 0,45$.

5.31. При печатании текста пробел между словами засчитывается как одна буква. Найдите частоту пробела в любом газетном тексте.

Для нахождения частоты пробела в тексте необходимо найти отношение количества пробелов к общему количеству символов, которое по условию включает в себя буквы и пробелы. Эта величина не является строго постоянной и варьируется от текста к тексту, однако можно вычислить ее среднее статистическое значение.

Пусть $N_{слов}$ — это количество слов в тексте, а $L_{ср}$ — средняя длина слова (в буквах).

В достаточно длинном тексте количество пробелов, разделяющих слова, примерно равно количеству слов. Для простоты будем считать, что $N_{пробелов} \approx N_{слов}$.

Общее количество букв в тексте ($N_{букв}$) можно оценить как произведение количества слов на среднюю длину слова: $N_{букв} \approx N_{слов} \times L_{ср}$.

Общее количество символов в тексте ($N_{всего}$), согласно условию, — это сумма количества букв и количества пробелов: $N_{всего} = N_{букв} + N_{пробелов} \approx (N_{слов} \times L_{ср}) + N_{слов} = N_{слов} \times (L_{ср} + 1)$.

Частота пробела ($P_{пробел}$) определяется как отношение числа пробелов к общему числу символов: $P_{пробел} = \frac{N_{пробелов}}{N_{всего}} \approx \frac{N_{слов}}{N_{слов} \times (L_{ср} + 1)} = \frac{1}{L_{ср} + 1}$.

Теперь задача сводится к оценке средней длины слова в русском газетном тексте. По данным лингвистических исследований, средняя длина слова в русском языке составляет примерно 5.5–6 букв. Возьмем для расчета среднее значение $L_{ср} \approx 5.5$.

Подставим это значение в нашу формулу: $P_{пробел} \approx \frac{1}{5.5 + 1} = \frac{1}{6.5} = \frac{2}{13} \approx 0.154$.

Таким образом, частота пробела в среднестатистическом газетном тексте на русском языке составляет примерно 15.4%. Это значение хорошо согласуется с данными частотного анализа текстов, где пробел является самым частым символом с частотой около 15-17%.

Ответ: Частота пробела в газетном тексте не является фиксированной, но ее оценочное значение для русского языка составляет примерно $\frac{1}{L_{ср} + 1}$, где $L_{ср}$ — средняя длина слова. При $L_{ср} \approx 5.5$ частота пробела составляет около 0.154 или 15.4%.

5.32. Путем опроса всех семиклассников вашей школы определите частоты дней рождения, попадающих на каждый месяц.

Это задание представляет собой практическую работу по сбору и анализу статистических данных. Поскольку провести реальный опрос всех семиклассников в конкретной школе невозможно, мы продемонстрируем алгоритм решения на гипотетическом примере.

Шаг 1: Сбор данных (моделирование)

Предположим, что в вашей школе учатся 80 семиклассников. Это общий объем выборки, который мы обозначим как $N$.

В результате воображаемого опроса мы получили следующие данные о количестве дней рождения в каждом месяце:

Январь: 7 учеников
Февраль: 5 учеников
Март: 8 учеников
Апрель: 6 учеников
Май: 9 учеников
Июнь: 7 учеников
Июль: 6 учеников
Август: 8 учеников
Сентябрь: 7 учеников
Октябрь: 5 учеников
Ноябрь: 6 учеников
Декабрь: 6 учеников
Всего: $7+5+8+6+9+7+6+8+7+5+6+6 = 80$ учеников.

Шаг 2: Определение частот

В статистике для анализа данных используются два вида частот:

1. Абсолютная частота – это количество раз, которое определенное значение (в нашем случае — месяц рождения) встречается в собранных данных. В нашем примере это просто число учеников, родившихся в каждом конкретном месяце.

2. Относительная частота – это отношение абсолютной частоты к общему числу наблюдений (к общему числу учеников). Она показывает, какую долю или процент составляет каждая группа от общего числа. Относительная частота рассчитывается по формуле:
$f = \frac{n}{N}$
где $n$ – абсолютная частота (число родившихся в месяце), а $N$ – общее число опрошенных учеников.

Шаг 3: Расчет и представление результатов

Теперь рассчитаем относительные частоты для каждого месяца, используя наши гипотетические данные ($N=80$), и сведем все результаты в одну таблицу.

Месяц | Абсолютная частота | Относительная частота (дробь, десятичное, %)

---------------|--------------------|-------------------------------------------------

Январь | 7 | $7/80 = 0.0875 = 8.75\%$

Февраль | 5 | $5/80 = 0.0625 = 6.25\%$

Март | 8 | $8/80 = 0.1000 = 10.00\%$

Апрель | 6 | $6/80 = 0.0750 = 7.50\%$

Май | 9 | $9/80 = 0.1125 = 11.25\%$

Июнь | 7 | $7/80 = 0.0875 = 8.75\%$

Июль | 6 | $6/80 = 0.0750 = 7.50\%$

Август | 8 | $8/80 = 0.1000 = 10.00\%$

Сентябрь | 7 | $7/80 = 0.0875 = 8.75\%$

Октябрь | 5 | $5/80 = 0.0625 = 6.25\%$

Ноябрь | 6 | $6/80 = 0.0750 = 7.50\%$

Декабрь | 6 | $6/80 = 0.0750 = 7.50\%$

---------------|--------------------|-------------------------------------------------

Итого: | 80 | $1.0000 = 100\%$

Ответ: Абсолютные и относительные частоты дней рождения, рассчитанные для гипотетической группы из 80 семиклассников, представлены в таблице выше. Для получения реальных данных для вашей школы необходимо провести собственный опрос и выполнить аналогичные расчеты.

5.33. Найдите вероятность выпадения:

1) герба при однократном бросании монеты;

2) «шестерки» при однократном бросании игральной кости.

1) герба при однократном бросании монеты
Для нахождения вероятности воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $A$ равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию ($m$), к общему числу всех равновозможных исходов ($n$):
$P(A) = \frac{m}{n}$
При однократном бросании монеты есть два равновозможных исхода: «герб» и «решка». Таким образом, общее число исходов $n = 2$.
Событие, вероятность которого мы ищем, — это выпадение «герба». Этому событию благоприятствует только один исход. Следовательно, $m = 1$.
Подставим значения $m$ и $n$ в формулу:
$P(\text{герб}) = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) «шестерки» при однократном бросании игральной кости
Так же, как и в предыдущем пункте, применяем классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$.
Стандартная игральная кость имеет шесть граней, на которых нанесены числа от 1 до 6. При однократном бросании кости существует шесть равновозможных исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Таким образом, общее число исходов $n = 6$.
Событие, вероятность которого нужно найти, — это выпадение «шестерки». Этому событию благоприятствует только один исход (выпадение грани с числом 6). Следовательно, $m = 1$.
Вычисляем вероятность этого события:
$P(\text{шестерка}) = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

5.34. Из 10 альчиков, имеющихся в коробке, 4 окрашены. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из коробки альчик окажется:

1) окрашенным;

2) неокрашенным.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данной задаче общее число исходов $n$ — это общее количество альчиков в коробке, то есть $n = 10$.

1) окрашенным

Событие A — извлеченный альчик окажется окрашенным. Число благоприятствующих этому событию исходов $m_1$ равно количеству окрашенных альчиков.

По условию, в коробке 4 окрашенных альчика, следовательно, $m_1 = 4$.

Вероятность того, что наудачу извлеченный альчик окажется окрашенным, равна:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4.

2) неокрашенным

Событие B — извлеченный альчик окажется неокрашенным. Сначала найдем число неокрашенных альчиков в коробке. Если всего 10 альчиков и 4 из них окрашены, то число неокрашенных равно:

$10 - 4 = 6$

Число исходов, благоприятствующих событию B, равно $m_2 = 6$.

Вероятность того, что наудачу извлеченный альчик окажется неокрашенным, равна:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{6}{10} = 0,6$

Эту же вероятность можно было найти, используя результат из пункта 1. События "альчик окрашен" и "альчик неокрашен" являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Тогда $P_2 = 1 - P_1 = 1 - 0,4 = 0,6$.

Ответ: 0,6.

5.35. Монета подброшена дважды. Какова вероятность того, что монета:

1) дважды выпадет гербовой стороной;

2) только один раз выпадет гербовой стороной;

3) по меньшей мере один раз выпадет гербовой стороной?

Для решения задачи определим все возможные исходы при двукратном подбрасывании монеты. Обозначим выпадение герба буквой "Г", а выпадение решки – буквой "Р". При подбрасывании монеты дважды существует четыре равновероятных исхода:
1. ГГ (герб, герб)
2. ГР (герб, решка)
3. РГ (решка, герб)
4. РР (решка, решка)
Общее число всех возможных элементарных исходов $n=4$.

1) дважды выпадет гербовой стороной;
Событию, при котором монета дважды выпадает гербовой стороной, соответствует только один благоприятный исход из четырех возможных: ГГ.
Число благоприятных исходов $m=1$.
Вероятность этого события вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$.
$P = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

2) только один раз выпадет гербовой стороной;
Событию, при котором герб выпадает ровно один раз, соответствуют два благоприятных исхода: ГР и РГ.
Число благоприятных исходов $m=2$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) по меньшей мере один раз выпадет гербовой стороной?
Событие "по меньшей мере один раз выпадет герб" означает, что герб выпадет либо один раз, либо два раза. Этому условию удовлетворяют три благоприятных исхода: ГГ, ГР и РГ.
Число благоприятных исходов $m=3$.
Вероятность этого события составляет: $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{4}$.
Этот же результат можно получить, рассмотрев противоположное событие — "герб не выпадет ни разу". Этому событию соответствует только один исход: РР. Его вероятность равна $\frac{1}{4}$. Тогда вероятность интересующего нас события (что герб выпадет хотя бы раз) равна $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$