Страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.36. Ученик в тетради случайно написал двузначное число.

Какова вероятность того, что это число окажется:

1) нечетным;

2) кратным трем?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности $P = m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов.

Сначала определим общее число исходов $n$. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99. Их общее количество можно вычислить как $n = 99 - 10 + 1 = 90$.

1) нечетным

Найдем количество благоприятствующих исходов — то есть, сколько существует нечетных двузначных чисел. В последовательности всех двузначных чисел (их 90) ровно половина являются нечетными, так как четные и нечетные числа чередуются. Значит, число нечетных двузначных чисел $m = 90 / 2 = 45$. Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число окажется нечетным, равна: $P = m/n = 45/90 = 1/2$.

Ответ: $1/2$

2) кратным трем

Найдем количество благоприятствующих исходов — то есть, сколько существует двузначных чисел, кратных трем. Первое двузначное число, кратное трем, это 12 ($=3 \cdot 4$), а последнее — 99 ($=3 \cdot 33$). Количество таких чисел соответствует количеству целых чисел в промежутке от 4 до 33 включительно. Их число $m = 33 - 4 + 1 = 30$. Вероятность того, что случайно выбранное двузначное число окажется кратным трем, равна: $P = m/n = 30/90 = 1/3$.

Ответ: $1/3$

5.37. Оказалось, что 5 учеников из 35 пришли неподготовленными к уроку. Какова вероятность того, что случайно вызванный к доске ученик окажется неподготовленным к уроку?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов ($m$) к общему числу всех равновероятных исходов ($n$).

Формула для вычисления вероятности выглядит так:

$P = \frac{m}{n}$

В условиях нашей задачи:

Общее число всех возможных исходов $n$ – это общее количество учеников в классе. Согласно условию, $n = 35$.

Число благоприятствующих исходов $m$ – это количество учеников, которые пришли на урок неподготовленными. Согласно условию, $m = 5$.

Теперь подставим эти значения в формулу для расчета вероятности:

$P = \frac{5}{35}$

Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$P = \frac{5 \div 5}{35 \div 5} = \frac{1}{7}$

Таким образом, вероятность того, что случайно вызванный к доске ученик окажется неподготовленным, равна $\frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$

5.38. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Один из стрелков может поразить мишень с вероятностью, равной 0,7, а второй – с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что:

1) в мишень попал только один стрелок;

2) в мишень попал по крайней мере один стрелок;

3) оба стрелка попали в мишень;

4) оба стрелка промахнулись;

5) один из стрелков промахнулся?

Для решения задачи введем обозначения событий:
$A$ – первый стрелок попал в мишень.
$B$ – второй стрелок попал в мишень.

По условию задачи вероятности этих событий равны:
$P(A) = 0.7$
$P(B) = 0.8$

Выстрелы стрелков являются независимыми событиями.
Найдем также вероятности противоположных событий (промахов):
$\bar{A}$ – первый стрелок промахнулся. Вероятность этого события: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$.
$\bar{B}$ – второй стрелок промахнулся. Вероятность этого события: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.8 = 0.2$.

1) в мишень попал только один стрелок
Это событие означает, что либо первый стрелок попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Эти два исхода являются несовместными, поэтому их вероятности можно сложить.
Вероятность того, что первый попал, а второй промахнулся: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0.7 \cdot 0.2 = 0.14$.
Вероятность того, что первый промахнулся, а второй попал: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0.3 \cdot 0.8 = 0.24$.
Искомая вероятность равна сумме этих вероятностей: $P = 0.14 + 0.24 = 0.38$.
Ответ: 0,38

2) в мишень попал по крайней мере один стрелок
Это событие является противоположным событию "оба стрелка промахнулись". Проще найти вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.
Вероятность того, что оба стрелка промахнулись, равна $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06$.
Следовательно, вероятность того, что попал по крайней мере один стрелок, равна $P = 1 - 0.06 = 0.94$.
Ответ: 0,94

3) оба стрелка попали в мишень
Так как выстрелы независимы, вероятность того, что оба стрелка попали, равна произведению вероятностей попадания каждого из них.
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56$.
Ответ: 0,56

4) оба стрелка промахнулись
Вероятность этого события равна произведению вероятностей промаха каждого стрелка.
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06$.
Ответ: 0,06

5) один из стрелков промахнулся
Это событие означает, что промахнулся хотя бы один стрелок. Это событие является противоположным событию "оба стрелка попали в мишень".
Вероятность того, что оба попали, мы нашли в пункте 3: $P(A \cap B) = 0.56$.
Тогда вероятность того, что хотя бы один промахнулся, равна $P = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.56 = 0.44$.
Ответ: 0,44

5.39. На заводе 27% продукции высшего качества, а 70% – I сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятый продукт окажется высшего или I сорта.

Пусть событие $A$ заключается в том, что наудачу взятый продукт имеет высшее качество, а событие $B$ – что продукт I сорта.

Согласно условию задачи, нам даны вероятности этих событий в процентах. Для расчетов переведем их в десятичные дроби:

Вероятность того, что продукт будет высшего качества:$P(A) = 27\% = 0,27$

Вероятность того, что продукт будет I сорта:$P(B) = 70\% = 0,70$

Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный продукт окажется высшего ИЛИ I сорта. Это соответствует вероятности наступления хотя бы одного из событий $A$ или $B$.

События $A$ и $B$ являются несовместными, так как один и тот же продукт не может одновременно быть и высшего качества, и I сорта. Это разные категории продукции.

Для несовместных событий вероятность их объединения (суммы) равна сумме их вероятностей. Формула для суммы вероятностей несовместных событий:$P(A + B) = P(A) + P(B)$

Подставим числовые значения в формулу и вычислим искомую вероятность:$P(A + B) = 0,27 + 0,70 = 0,97$

Ответ: 0,97

5.40. Стрелок попал в мишень, которая разделена на три непересекающиеся части. Вероятность попадания стрелка в 1-ю часть мишени равна 0,45, а во 2-ю часть – 0,35.

Найдите вероятность того, что стрелок попал:

1) в 1-ю или во 2-ю части мишени;

2) во 2-ю или в 3-ю части мишени;

3) в 3-ю часть мишени?

Пусть событие $A_1$ заключается в том, что стрелок попал в 1-ю часть мишени, событие $A_2$ — во 2-ю часть, а событие $A_3$ — в 3-ю часть.

По условию задачи нам даны вероятности:

$P(A_1) = 0,45$

$P(A_2) = 0,35$

Так как стрелок попал в мишень, а мишень состоит из трех непересекающихся частей, то события $A_1$, $A_2$ и $A_3$ образуют полную группу несовместных событий. Это значит, что сумма их вероятностей равна единице:

$P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 1$

Из этого уравнения мы можем заранее найти вероятность попадания в 3-ю часть мишени, которая понадобится для ответа на вопросы 2 и 3:

$P(A_3) = 1 - P(A_1) - P(A_2)$

$P(A_3) = 1 - 0,45 - 0,35 = 1 - 0,80 = 0,20$

Теперь мы можем ответить на все вопросы задачи.

1) в 1-ю или во 2-ю части мишени

Требуется найти вероятность события "попал в 1-ю часть ИЛИ во 2-ю часть". Так как события $A_1$ и $A_2$ несовместны (не могут произойти одновременно, потому что части мишени не пересекаются), вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$

$P(A_1 \cup A_2) = 0,45 + 0,35 = 0,80$

Ответ: 0,80

2) во 2-ю или в 3-ю части мишени

Требуется найти вероятность события "попал во 2-ю часть ИЛИ в 3-ю часть". События $A_2$ и $A_3$ также несовместны. Вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(A_2 \cup A_3) = P(A_2) + P(A_3)$

Мы знаем $P(A_2) = 0,35$ и ранее вычислили $P(A_3) = 0,20$.

$P(A_2 \cup A_3) = 0,35 + 0,20 = 0,55$

Ответ: 0,55

3) в 3-ю часть мишени

Вероятность попадания в 3-ю часть мишени мы уже вычислили в самом начале, используя свойство полной группы событий.

$P(A_3) = 1 - (P(A_1) + P(A_2)) = 1 - (0,45 + 0,35) = 1 - 0,80 = 0,20$

Ответ: 0,20

5.41. В среднем одна из ста лампочек, имеющихся в магазине, бывает бракованной. Какова вероятность того, что из двух купленных в этом магазине лампочек:

1) обе являются небракованными;

2) только одна бракованная;

3) обе являются бракованными?

Для решения задачи введем обозначения для вероятностей событий. Пусть $p$ — вероятность того, что случайно выбранная лампочка является бракованной, и $q$ — вероятность того, что лампочка небракованная.

Согласно условию, в среднем одна из ста лампочек бывает бракованной. Таким образом, вероятность купить бракованную лампочку равна:

$p = \frac{1}{100} = 0.01$

Вероятность того, что лампочка небракованная, является вероятностью противоположного события, поэтому:

$q = 1 - p = 1 - 0.01 = 0.99$

Выбор двух лампочек можно считать двумя независимыми испытаниями. Это означает, что вероятность совместного наступления событий равна произведению их вероятностей.

1) обе являются небракованными

Для того чтобы обе купленные лампочки были небракованными, необходимо, чтобы первая лампочка была небракованной и вторая лампочка была небракованной. Вероятность этого события вычисляется как произведение вероятностей:

$P_1 = q \cdot q = q^2 = 0.99 \cdot 0.99 = 0.9801$

Ответ: $0.9801$

2) только одна бракованная

Это событие может произойти двумя несовместными способами:
а) Первая лампочка бракованная ($p$), а вторая — небракованная ($q$).
б) Первая лампочка небракованная ($q$), а вторая — бракованная ($p$).

Вероятность первого способа: $p \cdot q = 0.01 \cdot 0.99 = 0.0099$.
Вероятность второго способа: $q \cdot p = 0.99 \cdot 0.01 = 0.0099$.

Общая вероятность того, что только одна из двух лампочек бракованная, равна сумме вероятностей этих двух способов:

$P_2 = (p \cdot q) + (q \cdot p) = 2 \cdot p \cdot q = 2 \cdot 0.01 \cdot 0.99 = 0.0198$

Ответ: $0.0198$

3) обе являются бракованными

Для того чтобы обе купленные лампочки были бракованными, необходимо, чтобы и первая, и вторая лампочки были бракованными. Вероятность этого события равна:

$P_3 = p \cdot p = p^2 = 0.01 \cdot 0.01 = 0.0001$

Ответ: $0.0001$

5.42. Карточки, в которых записаны по одной букве слова «вероятность», были перевернуты и тщательно перемешаны. Найдите вероятность того, что наудачу взятая карточка окажется с гласной буквой.

Для нахождения вероятности события необходимо разделить количество благоприятных исходов на общее количество всех возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество возможных исходов. Это общее число букв в слове «вероятность».
Слово «в-е-р-о-я-т-н-о-с-т-ь» состоит из 11 букв. Следовательно, общее число карточек равно 11. Это и есть общее число возможных исходов $n$.
$n = 11$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятным исходом является выбор карточки с гласной буквой.
Найдем все гласные буквы в слове «вероятность». Гласными являются: е, о, я, о.
Всего в слове 4 гласные буквы. Следовательно, количество благоприятных исходов $m$ равно 4.
$m = 4$.

3. Найдем вероятность того, что наудачу взятая карточка окажется с гласной буквой, по формуле классической вероятности:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$