Номер 5.80, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.80. Решите уравнение $|x+3|=2x-1$.

Данное уравнение $|x+3|=2x-1$ является уравнением с модулем. Решить его можно несколькими способами.

Способ 1: Раскрытие модуля по определению

По определению, модуль числа — это само число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно. Важным условием является то, что значение модуля всегда неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что правая часть уравнения не может быть отрицательной:

$2x-1 \ge 0$

$2x \ge 1$

$x \ge 1/2$

Любые решения, которые мы найдем, должны удовлетворять этому условию.

2. Теперь рассмотрим два случая для выражения под знаком модуля.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x+3 \ge 0$, что означает $x \ge -3$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком "плюс":

$x+3 = 2x-1$

Решаем полученное линейное уравнение:

$3+1 = 2x-x$

$x = 4$

Проверяем, соответствует ли корень $x=4$ условиям этого случая ($x \ge -3$) и ОДЗ ($x \ge 1/2$). Да, $4 \ge -3$ и $4 \ge 1/2$. Следовательно, $x=4$ является корнем уравнения.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $x+3 < 0$, что означает $x < -3$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком "минус":

$-(x+3) = 2x-1$

$-x-3 = 2x-1$

Решаем полученное уравнение:

$-3+1 = 2x+x$

$-2 = 3x$

$x = -2/3$

Проверяем, соответствует ли корень $x = -2/3$ условию этого случая ($x < -3$). Условие не выполняется, так как $-2/3$ не меньше $-3$. Также этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1/2$). Следовательно, $x = -2/3$ — посторонний корень.

Объединяя результаты двух случаев, получаем единственный корень.

Способ 2: Возведение в квадрат

Поскольку обе части уравнения неотрицательны (левая — по определению модуля, а для правой мы ввели ограничение $2x-1 \ge 0$), мы можем возвести обе части в квадрат:

$(|x+3|)^2 = (2x-1)^2$

$(x+3)^2 = (2x-1)^2$

Раскрываем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 6x + 9 = 4x^2 - 4x + 1$

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 4x^2 - x^2 - 4x - 6x + 1 - 9$

$3x^2 - 10x - 8 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -2/3$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1/2$):

Для $x_1 = 4$: $4 \ge 1/2$. Корень подходит.

Для $x_2 = -2/3$: $-2/3 \ge 1/2$. Неверно. Это посторонний корень.

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 4