Номер 5.87, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.87. Используя задачу 5.84, найти вероятность того, что расстояние от точки А до:

1) определенной вершины квадрата;

2) центра квадрата не превышает числа $a$ ($0

Для решения задачи используется метод геометрической вероятности. Предполагается, что точка А выбирается случайным образом и равновероятно из любой точки внутри квадрата. Для удобства расчетов будем рассматривать единичный квадрат со стороной 1. Пусть его вершины находятся в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Площадь этого квадрата, которая представляет собой пространство всех возможных исходов, равна $S_{общ} = 1^2 = 1$. Вероятность искомого события вычисляется как отношение площади области благоприятных исходов к общей площади квадрата: $P = \frac{S_{благопр}}{S_{общ}}$.

1) расстояние от точки А до определенной вершины квадрата

Пусть точка А имеет координаты $(x, y)$, где $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$. Выберем одну определенную вершину квадрата, например, ту, что находится в начале координат, V(0,0). Расстояние $d$ от точки A до этой вершины определяется формулой $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Событие, вероятность которого нужно найти, заключается в том, что это расстояние не превышает числа $a$. Математически это записывается как неравенство $d \le a$, или $\sqrt{x^2 + y^2} \le a$, что эквивалентно $x^2 + y^2 \le a^2$.

Это неравенство описывает множество точек, находящихся внутри или на окружности с центром в вершине (0,0) и радиусом $a$. Областью благоприятных исходов является пересечение этого круга с единичным квадратом. Поскольку точка A по определению находится внутри квадрата, а центр круга совпадает с одной из его вершин, то благоприятной областью будет сектор круга, находящийся в первом координатном угле, то есть четверть круга. Условие $0 < a < 0,5$ гарантирует, что эта четверть круга целиком лежит внутри квадрата.

Площадь полного круга радиуса $a$ равна $\pi a^2$. Следовательно, площадь благоприятной области (четверти круга) составляет $S_{благопр_1} = \frac{1}{4} \pi a^2$.

Вероятность того, что расстояние от точки А до определенной вершины квадрата не превышает $a$, вычисляется как:

$P_1 = \frac{S_{благопр_1}}{S_{общ}} = \frac{\frac{1}{4} \pi a^2}{1} = \frac{\pi a^2}{4}$

Ответ: $P_1 = \frac{\pi a^2}{4}$.

2) расстояние от точки А до центра квадрата

Центр единичного квадрата [0,1]x[0,1] расположен в точке C с координатами (0.5, 0.5). Расстояние $d$ от случайной точки A(x, y) до центра C равно $d = \sqrt{(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2}$.

Условие, что расстояние не превышает $a$, записывается в виде неравенства: $d \le a$, или $(x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 \le a^2$.

Это неравенство описывает круг с центром в точке (0.5, 0.5) и радиусом $a$. Необходимо проверить, лежит ли этот круг полностью внутри квадрата. Координаты любой точки $(x, y)$ на окружности удовлетворяют условиям $0.5 - a \le x \le 0.5 + a$ и $0.5 - a \le y \le 0.5 + a$. Согласно условию задачи $0 < a < 0.5$, из чего следует, что $0 < 0.5 - a$ и $0.5 + a < 1$. Таким образом, для всех точек круга выполняются неравенства $0 < x < 1$ и $0 < y < 1$, а значит, весь круг целиком содержится внутри единичного квадрата.

Следовательно, область благоприятных исходов — это круг радиуса $a$, и его площадь равна $S_{благопр_2} = \pi a^2$.

Вероятность того, что расстояние от точки А до центра квадрата не превышает $a$, равна:

$P_2 = \frac{S_{благопр_2}}{S_{общ}} = \frac{\pi a^2}{1} = \pi a^2$

Ответ: $P_2 = \pi a^2$.