Номер 5.84, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.84. Внутри единичного квадрата случайно отмечена точка А. Найдите вероятность того, что расстояние от точки А до определенной стороны квадрата не превышает числа $a$ $(0 < a < 0.5)$.

Для решения данной задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, площади) области, благоприятствующей этому событию, к мере всей области возможных исходов. Вся область исходов — это единичный квадрат, а точка $A$ выбирается в нем случайно, что подразумевает равномерное распределение.

Площадь единичного квадрата, который является пространством всех возможных положений точки $A$, равна $S_{общ} = 1 \times 1 = 1$.

Рассмотрим множество точек внутри квадрата, для которых выполняется заданное условие. Условие состоит в том, что расстояние от точки $A$ до определенной (конкретной, фиксированной) стороны квадрата не превышает числа $a$.

Для наглядности поместим квадрат в декартову систему координат, так чтобы его вершины находились в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ и $(0, 1)$. Пусть точка $A$ имеет координаты $(x, y)$.

Выберем в качестве "определенной" стороны верхнюю сторону квадрата. Уравнение прямой, содержащей эту сторону, — $y=1$. Расстояние от точки $A(x,y)$ до этой прямой равно $1-y$ (поскольку $y \le 1$).

Условие "расстояние не превышает $a$" запишется в виде неравенства: $1-y \le a$. Отсюда получаем $y \ge 1-a$.

Таким образом, благоприятствующая область — это множество всех точек $(x, y)$ внутри квадрата, для которых выполняются условия:

$0 \le x \le 1$

$1-a \le y \le 1$

Эта область представляет собой прямоугольник с высотой $1 - (1-a) = a$ и шириной $1$. Площадь этой благоприятствующей области $S_{бл}$ равна:

$S_{бл} = 1 \times a = a$.

Заданное в условии ограничение $0 < a < 0,5$ обеспечивает, что рассматриваемая область является собственным подмножеством квадрата и не пересекается с аналогичной областью у противоположной (нижней) стороны.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению площади благоприятствующей области к общей площади квадрата:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{a}{1} = a$

Результат не зависит от того, какая именно сторона квадрата была выбрана в качестве "определенной". Для любой из четырех сторон площадь благоприятной области будет прямоугольником со сторонами $1$ и $a$, и его площадь будет равна $a$.

Ответ: $a$.