Номер 5.90, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.90. Последовательным соединением середин сторон данного квадрата получен 2-й, меньший квадрат, далее последовательным соединением середин сторон этого квадрата получен 3-й квадрат. Какова вероятность того, что случайно отмеченная точка внутри данного квадрата принадлежит:

1) 3-му квадрату;

2) частям 2-го квадрата, являющегося «внешностью» 3-го квадрата;

3) кругу, вписанному в третий квадрат?

Для решения этой задачи по геометрической вероятности мы будем находить отношение площади интересующей нас фигуры к площади самой большой фигуры (исходного квадрата). Вероятность $P$ попадания точки в некоторую область $A$ внутри области $B$ определяется как отношение их площадей: $P = S_A / S_B$.

Обозначим исходный квадрат как Квадрат 1, его сторону как $a$, а его площадь как $S_1 = a^2$.

Второй квадрат (Квадрат 2) получен соединением середин сторон Квадрата 1. Сторона Квадрата 2 равна $a_2 = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = a/\sqrt{2}$. Его площадь $S_2 = (a/\sqrt{2})^2 = a^2/2$. Таким образом, $S_2 = S_1 / 2$.

Третий квадрат (Квадрат 3) получен соединением середин сторон Квадрата 2. Аналогично, его площадь $S_3$ будет в два раза меньше площади $S_2$. $S_3 = S_2 / 2 = (S_1/2)/2 = S_1/4$. То есть, $S_3 = a^2/4$.

Теперь найдем вероятности для каждого случая.

1) 3-му квадрату;

Вероятность того, что случайно отмеченная точка принадлежит 3-му квадрату, равна отношению площади 3-го квадрата к площади 1-го (исходного) квадрата.

$P_1 = \frac{S_3}{S_1} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $1/4$

2) частям 2-го квадрата, являющегося «внешностью» 3-го квадрата;

Площадь интересующей нас области — это площадь 2-го квадрата за вычетом площади 3-го квадрата, который находится внутри него. Обозначим эту площадь $S_{2-3}$.

$S_{2-3} = S_2 - S_3 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

Вероятность попадания точки в эту область равна:

$P_2 = \frac{S_{2-3}}{S_1} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $1/4$

3) кругу, вписанному в третий квадрат?

Сначала найдем площадь круга, вписанного в 3-й квадрат. Сторона 3-го квадрата $a_3 = \sqrt{S_3} = \sqrt{a^2/4} = a/2$.

Диаметр вписанного круга равен стороне квадрата, то есть $d = a_3 = a/2$. Радиус круга $r$ равен половине диаметра: $r = d/2 = (a/2)/2 = a/4$.

Площадь этого круга $S_{круг}$ равна:

$S_{круг} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{16}$

Вероятность того, что точка попадет в этот круг, равна:

$P_3 = \frac{S_{круг}}{S_1} = \frac{\pi a^2/16}{a^2} = \frac{\pi}{16}$

Ответ: $\pi/16$