Номер 5.95, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.95. На шахматную доску, длина стороны каждой клетки которой равна $2a$, случайно уронили монету диаметром $2r$ $(r

1) одной клетки;

2) клетки черного цвета?

1) одной клетки

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению меры (в данном случае, площади) области благоприятных исходов к мере всей области возможных исходов.

Рассмотрим одну клетку шахматной доски. Так как доска состоит из одинаковых клеток, результат, полученный для одной клетки, будет справедлив для всей доски. Длина стороны клетки равна $2a$, следовательно, ее площадь равна $S_{клетка} = (2a)^2 = 4a^2$. Эту площадь мы можем считать пространством элементарных исходов, так как положение монеты определяется положением ее центра, который может с равной вероятностью оказаться в любой точке клетки.

Монета имеет диаметр $2r$, значит, ее радиус равен $r$. Чтобы монета целиком оказалась внутри одной клетки, ее центр должен находиться на расстоянии не менее $r$ от каждой из границ клетки. Это означает, что центр монеты должен попасть в меньший квадрат, концентричный исходной клетке.

Сторона этого внутреннего, «благоприятного» для события, квадрата будет равна $2a - r - r = 2a - 2r = 2(a-r)$. Площадь этой благоприятной области составляет $S_{благопр} = (2(a-r))^2 = 4(a-r)^2$. Условие задачи $r < a$ гарантирует, что такая область существует ($a-r > 0$).

На рисунке ниже показана одна клетка и благоприятная область для центра монеты (закрашена зеленым).

Вероятность $P_1$ того, что монета целиком окажется внутри одной клетки, вычисляется как отношение площади благоприятной области к общей площади клетки:

$P_1 = \frac{S_{благопр}}{S_{клетка}} = \frac{4(a-r)^2}{4a^2} = \frac{(a-r)^2}{a^2} = \left(\frac{a-r}{a}\right)^2 = \left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$

Ответ: $\left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$

2) клетки черного цвета

На стандартной шахматной доске количество черных и белых клеток одинаково, они занимают по половине всей площади доски. Будем считать, что это условие выполняется.

Событие «монета целиком окажется внутри клетки черного цвета» является частью события «монета целиком окажется внутри одной клетки», вероятность которого мы нашли в пункте 1.

Поскольку черные клетки составляют половину от всех клеток, то и общая площадь благоприятных областей для попадания в черные клетки будет в два раза меньше общей площади благоприятных областей для попадания в любую клетку. В каждой клетке, независимо от ее цвета, есть одинаковая по размеру «безопасная» зона для центра монеты.

Следовательно, искомая вероятность $P_2$ будет в два раза меньше вероятности $P_1$:

$P_2 = \frac{1}{2} \cdot P_1 = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$

Этот результат можно получить и прямым расчетом. Пусть на доске $N$ клеток, из них $N/2$ черных. Общая площадь доски $S_{доска} = N \cdot (2a)^2$. Суммарная благоприятная площадь для попадания в черные клетки равна $S_{благопр,черн} = \frac{N}{2} \cdot (2(a-r))^2$. Тогда вероятность:

$P_2 = \frac{S_{благопр,черн}}{S_{доска}} = \frac{\frac{N}{2} \cdot 4(a-r)^2}{N \cdot 4a^2} = \frac{1}{2} \frac{(a-r)^2}{a^2} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$

Ответ: $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{r}{a}\right)^2$