Номер 5.100, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.100. Решите уравнение:

1) $ \frac{4}{x} + 5 = \frac{1}{x^2}; $

2) $ \frac{2}{x^2 + 3} + \frac{4}{x^2 + 7} = 1. $

1) $\frac{4}{x} + 5 = \frac{1}{x^2}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$\frac{4}{x} + 5 - \frac{1}{x^2} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, приведём все слагаемые к общему знаменателю $x^2$:

$\frac{4 \cdot x}{x^2} + \frac{5 \cdot x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 0$

$\frac{4x + 5x^2 - 1}{x^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $x^2 \neq 0$ совпадает с нашим ОДЗ ($x \neq 0$). Поэтому приравняем числитель к нулю:

$5x^2 + 4x - 1 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Оба найденных корня ($x_1 = \frac{1}{5}$ и $x_2 = -1$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-1; \frac{1}{5}$.

2) $\frac{2}{x^2 + 3} + \frac{4}{x^2 + 7} = 1$

Определим ОДЗ. Знаменатели $x^2 + 3$ и $x^2 + 7$ не должны быть равны нулю. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$ и $x^2 + 7 \ge 7$. Таким образом, знаменатели всегда положительны и никогда не обращаются в ноль. ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Данное уравнение является биквадратным. Для упрощения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, на новую переменную $t$ накладывается условие $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$\frac{2}{t + 3} + \frac{4}{t + 7} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(t+3)(t+7)$:

$\frac{2(t+7) + 4(t+3)}{(t+3)(t+7)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2t + 14 + 4t + 12}{t^2 + 7t + 3t + 21} = 1$

$\frac{6t + 26}{t^2 + 10t + 21} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $t^2 + 10t + 21$ (мы знаем, что он не равен нулю, так как $t \ge 0$):

$6t + 26 = t^2 + 10t + 21$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = t^2 + 10t - 6t + 21 - 26$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-5$, а их сумма равна $-4$. Корни легко подбираются: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Теперь нужно проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \ge 0$).

$t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t=1$:

$x^2 = t$

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 1$.