Номер 5.99, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.99. (Задача о встрече.) Двое условились встретиться в определенном месте между 17 и 18 ч. По договоренности каждый из них приходит в назначенное место и ждет второго ровно $T$ минут и в случае, если второй партнер за это время не приходит в назначенное место, он уходит. Какова вероятность встречи партнеров? Решите задачу при:

1) $T=15$ мин;

2) $T=20$ мин;

3) $T=30$ мин.

Это классическая задача на геометрическую вероятность, известная как «задача о встрече». Для ее решения мы будем использовать геометрический метод.

Пусть $x$ — время прихода первого партнера, а $y$ — время прихода второго. Время измеряется в минутах, начиная с 17:00. Интервал времени встречи составляет один час, то есть 60 минут. Таким образом, $x$ и $y$ — это случайные величины, равномерно распределенные на отрезке $[0, 60]$.

Все возможные исходы можно представить в виде точек $(x, y)$ в квадрате на координатной плоскости. Этот квадрат ограничен линиями $x=0$, $x=60$, $y=0$ и $y=60$. Площадь этого квадрата $S_{общ}$ является мерой всех возможных исходов: $S_{общ} = 60 \cdot 60 = 3600$.

Встреча состоится, если разница во времени прихода партнеров не превышает времени ожидания $T$. Математически это условие записывается так: $|x - y| \le T$

Это двойное неравенство эквивалентно системе: $-T \le x - y \le T$, что можно переписать как $x - T \le y \le x + T$.

Эта система неравенств определяет на плоскости область благоприятных исходов. Геометрически это полоса, заключенная между прямыми $y = x + T$ и $y = x - T$, расположенная внутри нашего квадрата.

Проще всего найти площадь благоприятной области ($S_{бл}$), вычтя из общей площади квадрата площади двух угловых треугольников, которые соответствуют неблагоприятным исходам (когда встреча не состоялась).

Неблагоприятные исходы: $|x - y| > T$, то есть $y > x + T$ или $y < x - T$.

Площадь верхнего левого треугольника (где $y > x + T$): $S_1 = \frac{1}{2}(60 - T)(60 - T) = \frac{(60 - T)^2}{2}$.

Площадь нижнего правого треугольника (где $y < x - T$): $S_2 = \frac{1}{2}(60 - T)(60 - T) = \frac{(60 - T)^2}{2}$.

Площадь области неблагоприятных исходов: $S_{небл} = S_1 + S_2 = (60 - T)^2$.

Площадь области благоприятных исходов: $S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 60^2 - (60 - T)^2$.

Вероятность встречи $P$ равна отношению площади благоприятных исходов к общей площади: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{60^2 - (60 - T)^2}{60^2} = 1 - \left(\frac{60 - T}{60}\right)^2 = 1 - \left(1 - \frac{T}{60}\right)^2$.

Также формулу можно представить в виде: $P = \frac{3600 - (3600 - 120T + T^2)}{3600} = \frac{120T - T^2}{3600}$.

Теперь решим задачу для каждого из заданных значений $T$.

1) T=15 мин

Подставляем $T=15$ в формулу: $P = \frac{120 \cdot 15 - 15^2}{3600} = \frac{1800 - 225}{3600} = \frac{1575}{3600}$

Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 25: $\frac{1575 \div 25}{3600 \div 25} = \frac{63}{144}$

Теперь сократим на 9: $\frac{63 \div 9}{144 \div 9} = \frac{7}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$

2) T=20 мин

Подставляем $T=20$ в формулу: $P = \frac{120 \cdot 20 - 20^2}{3600} = \frac{2400 - 400}{3600} = \frac{2000}{3600}$

Сократим дробь на 100, а затем на 4: $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

3) T=30 мин

Подставляем $T=30$ в формулу: $P = \frac{120 \cdot 30 - 30^2}{3600} = \frac{3600 - 900}{3600} = \frac{2700}{3600}$

Сократим дробь на 900: $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$