Номер 5.98, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.98. Решите предыдущую задачу, взяв вместо окружностей концентрические сферы. Необходимые для решения задачи формулы можно взять из математических справочников.

Задача состоит в нахождении потенциала и напряженности электростатического поля, создаваемого двумя концентрическими сферами. Предполагается, что в предыдущей задаче требовалось найти те же величины для двух концентрических окружностей.

Рассмотрим две тонкие концентрические сферы с радиусами $R_1$ и $R_2$ (пусть $R_1 < R_2$). Сферы несут на своих поверхностях заряды $Q_1$ и $Q_2$, которые распределены равномерно. Для решения задачи используется теорема о поле заряженной сферической оболочки (являющаяся следствием теоремы Гаусса) и принцип суперпозиции полей.

Согласно теореме, поле, создаваемое сферической оболочкой с зарядом $Q$ и радиусом $R$:

• Вне оболочки (на расстоянии $r > R$ от центра) эквивалентно полю точечного заряда $Q$, помещенного в центр: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}$.
• Внутри оболочки ($r < R$) напряженность поля равна нулю: $E = 0$.

Соответственно, электростатический потенциал $\phi$ (при условии $\phi(\infty) = 0$):

• Вне оболочки ($r \ge R$): $\phi(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}$.
• Внутри оболочки ($r \le R$): $\phi(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}$ (потенциал постоянен).

Применяя принцип суперпозиции, найдем суммарный потенциал и напряженность поля, сложив их значения от каждой сферы.

Потенциал электростатического поля $\phi(r)$

Разобьем пространство на три области и найдем потенциал в каждой из них.

1. Область внутри обеих сфер ($r < R_1$).Точка наблюдения находится внутри сферы 1 и внутри сферы 2. Потенциалы от каждой из них в этой области постоянны и равны потенциалам на их поверхностях:$\phi_1(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{R_1}$ и $\phi_2(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{R_2}$.Суммарный потенциал: $\phi(r) = \phi_1(r) + \phi_2(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} \right)$.

2. Область между сферами ($R_1 \le r < R_2$).Точка наблюдения находится вне сферы 1 и внутри сферы 2. Потенциал от сферы 1 зависит от расстояния $r$, а от сферы 2 — постоянен:$\phi_1(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{r}$ и $\phi_2(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{R_2}$.Суммарный потенциал: $\phi(r) = \phi_1(r) + \phi_2(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r} + \frac{Q_2}{R_2} \right)$.

3. Область вне обеих сфер ($r \ge R_2$).Точка наблюдения находится вне обеих сфер. Каждая сфера создает потенциал, как точечный заряд в центре:$\phi_1(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{r}$ и $\phi_2(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{r}$.Суммарный потенциал: $\phi(r) = \phi_1(r) + \phi_2(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{r}$.

Ответ:$$\phi(r) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} \right), & r < R_1 \\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r} + \frac{Q_2}{R_2} \right), & R_1 \le r < R_2 \\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{r}, & r \ge R_2 \end{cases}$$

Напряженность электростатического поля $E(r)$

Напряженность поля можно найти как градиент потенциала со знаком минус: $E(r) = - \frac{d\phi(r)}{dr}$. Направление вектора $\vec{E}$ радиальное.

1. Область внутри обеих сфер ($r < R_1$).Потенциал в этой области постоянен, следовательно, его производная по $r$ равна нулю.$E(r) = - \frac{d}{dr} \left[ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R_1} + \frac{Q_2}{R_2} \right) \right] = 0$.

2. Область между сферами ($R_1 < r < R_2$).$E(r) = - \frac{d}{dr} \left[ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r} + \frac{Q_2}{R_2} \right) \right] = - \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0} \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right) = - \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0} \left(-\frac{1}{r^2}\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{r^2}$.

3. Область вне обеих сфер ($r > R_2$).$E(r) = - \frac{d}{dr} \left[ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{r} \right] = - \frac{Q_1 + Q_2}{4\pi\epsilon_0} \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{r^2}$.

Ответ:$$E(r) = \begin{cases} 0, & r < R_1 \\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{r^2}, & R_1 < r < R_2 \\ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1 + Q_2}{r^2}, & r > R_2 \end{cases}$$(На границах $r=R_1$ и $r=R_2$ напряженность поля испытывает скачок, если соответствующие заряды $Q_1$ и $Q_2$ не равны нулю).