Номер 5.96, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.96. Какова вероятность того, что из трех отрезков, длины которых не превосходят $l$, можно составить треугольник?

Для решения этой задачи мы будем использовать методы геометрической вероятности. Пусть длины трех отрезков — это случайные величины $x, y, z$. Согласно условию, их длины не превосходят $l$, то есть $0 \le x \le l$, $0 \le y \le l$, $0 \le z \le l$.

Эти условия определяют пространство всех возможных исходов. В трехмерной системе координат $(x, y, z)$ это пространство представляет собой куб с ребром длины $l$. Объем этого куба (мера пространства всех исходов) равен:

$V_{total} = l \cdot l \cdot l = l^3$

Для того чтобы из трех отрезков с длинами $x, y, z$ можно было составить треугольник, должны выполняться три условия, известные как неравенство треугольника:

$x + y > z$

$x + z > y$

$y + z > x$

Нам нужно найти объем области внутри куба, где все три неравенства выполняются. Этот объем будет соответствовать мере благоприятных исходов. Проще, однако, вычислить объем области, где треугольник составить нельзя, а затем вычесть его из общего объема куба.

Треугольник нельзя составить, если нарушается хотя бы одно из неравенств треугольника. То есть, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. $x + y \le z$

2. $x + z \le y$

3. $y + z \le x$

Эти три условия определяют три области внутри куба, которые в совокупности составляют пространство неблагоприятных исходов. Давайте проанализируем эти области. Заметим, что они практически не пересекаются. Например, если одновременно выполняются условия $x + y \le z$ и $x + z \le y$, то, сложив их, получим $2x + y + z \le y + z$, что означает $2x \le 0$. Так как длина отрезка $x$ не может быть отрицательной ($x \ge 0$), это возможно только при $x=0$. В этом случае неравенства сводятся к $y \le z$ и $z \le y$, то есть $y=z$. Таким образом, пересечение первой и второй областей — это линия $x=0, y=z$, которая имеет нулевой объем в трехмерном пространстве. Аналогично, объемы пересечений других пар областей и всех трех областей равны нулю.

Следовательно, объем неблагоприятных исходов можно найти, просто сложив объемы каждой из трех областей. В силу симметрии задачи объемы этих трех областей равны. Найдем объем одной из них, например, области $U_1$, где $x+y \le z$.

Эта область внутри куба определяется системой неравенств:

$0 \le x \le l$

$0 \le y \le l$

$x + y \le z \le l$

Из последнего неравенства следует, что $x+y \le l$. Объем этой области можно вычислить с помощью тройного интеграла:

$V_{unfav,1} = \iiint_{U_1} dx\,dy\,dz = \int_0^l dx \int_0^{l-x} dy \int_{x+y}^l dz$

Вычислим внутренний интеграл по $z$:

$\int_{x+y}^l dz = [z]_{x+y}^l = l - (x+y)$

Теперь вычислим интеграл по $y$:

$\int_0^{l-x} (l-x-y) dy = \left[ (l-x)y - \frac{y^2}{2} \right]_0^{l-x} = (l-x)(l-x) - \frac{(l-x)^2}{2} = \frac{(l-x)^2}{2}$

И, наконец, внешний интеграл по $x$:

$\int_0^l \frac{(l-x)^2}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{(l-x)^3}{3} \right]_0^l = \frac{1}{2} \left( 0 - \left(-\frac{l^3}{3}\right) \right) = \frac{l^3}{6}$

Итак, объем одной неблагоприятной области равен $l^3/6$. Так как таких областей три и они симметричны, общий объем неблагоприятных исходов равен:

$V_{unfavorable} = 3 \times V_{unfav,1} = 3 \times \frac{l^3}{6} = \frac{l^3}{2}$

Объем благоприятных исходов (когда треугольник можно составить) равен разности общего объема и объема неблагоприятных исходов:

$V_{favorable} = V_{total} - V_{unfavorable} = l^3 - \frac{l^3}{2} = \frac{l^3}{2}$

Вероятность искомого события равна отношению объема благоприятных исходов к общему объему:

$P = \frac{V_{favorable}}{V_{total}} = \frac{l^3/2}{l^3} = \frac{1}{2}$

Геометрически, пространство всех исходов — это куб. Пространство неблагоприятных исходов — это три тетраэдра, отсекаемых от куба плоскостями $x+y=z$, $x+z=y$ и $y+z=x$. Все три тетраэдра имеют общую вершину в начале координат.

Ответ: Вероятность того, что из трех отрезков, длины которых не превосходят $l$, можно составить треугольник, равна $1/2$.