Номер 5.91, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.91. Решите предыдущую задачу, взяв вместо квадрата равносторонний треугольник.

Поскольку условие задачи 5.91 («Решите предыдущую задачу, взяв вместо квадрата равносторонний треугольник») отсылает к предыдущей задаче, текст которой не предоставлен, мы будем исходить из наиболее вероятного и стандартного условия для такого типа задач. Предположим, что в предыдущей задаче требовалось найти центр масс фигуры, полученной из однородного квадрата со стороной $a$ после удаления из его угла меньшего квадрата со стороной $a/2$.

Соответственно, решаемая задача формулируется так: «Найти центр масс однородной пластины, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной $a$, из которого в одной из вершин вырезан меньший равносторонний треугольник со стороной $a/2$». Фигура, которая остается после вырезания, представляет собой равнобедренную трапецию.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом отрицательных масс (или принципом суперпозиции). Центр масс искомой фигуры можно найти, если рассмотреть ее как результат вычитания из большого треугольника (индекс 1) маленького треугольника (индекс 2).

Система координат и геометрия

Разместим большой равносторонний треугольник $ABC$ в системе координат $xOy$ так, чтобы его основание $BC$ лежало на оси $Ox$, а вершина $A$ — на оси $Oy$. Центр основания поместим в начало координат $O$. Сторона треугольника равна $a$.

Высота треугольника $ABC$ равна $h_1 = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Координаты вершин большого треугольника: $A(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B(-\frac{a}{2}, 0)$ и $C(\frac{a}{2}, 0)$.

Вырезанный треугольник $ADE$ имеет вершину в точке $A$. Его стороны $AD$ и $AE$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ соответственно, а сторона $DE$ параллельна основанию $BC$. Так как сторона вырезанного треугольника равна $a/2$, точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $AB$. Оставшаяся фигура — это трапеция $BCDE$.

Центр масс исходного треугольника

Центр масс $C_1$ однородного треугольника $ABC$ находится в точке пересечения его медиан (центроиде), на расстоянии $h_1/3$ от основания. В нашей системе координат $C_1$ имеет координаты:

$x_1 = 0$ (из-за симметрии)

$y_1 = \frac{h_1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Площадь треугольника $ABC$ равна $S_1 = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Если $\sigma$ — поверхностная плотность материала, то масса большого треугольника $M_1 = \sigma S_1$.

Центр масс вырезанного треугольника

Вырезанный треугольник $ADE$ является равносторонним со стороной $a/2$. Координаты его вершин: $A(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})$, $D(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4})$, $E(-\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4})$.

Центр масс $C_2$ треугольника $ADE$ — это среднее арифметическое координат его вершин:

$x_2 = \frac{0 + a/4 - a/4}{3} = 0$

$y_2 = \frac{1}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Площадь треугольника $ADE$ равна $S_2 = \frac{1}{4} S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}$. Масса вырезанного треугольника $M_2 = \sigma S_2 = \frac{1}{4} M_1$.

Центр масс оставшейся фигуры

Координаты центра масс $C_{rem}(x_c, y_c)$ оставшейся фигуры (трапеции $BCDE$) найдем из условия, что центр масс большого треугольника является центром масс системы, состоящей из оставшейся фигуры и вырезанного треугольника. В векторной форме:

$M_1 \cdot \vec{r_1} = M_{rem} \cdot \vec{r}_{rem} + M_2 \cdot \vec{r_2}$

Масса оставшейся фигуры $M_{rem} = M_1 - M_2 = M_1 - \frac{1}{4}M_1 = \frac{3}{4}M_1$.

Проецируя на оси координат:

Проекция на ось $Ox$: $M_1 x_1 = M_{rem} x_c + M_2 x_2$. Так как $x_1 = 0$ и $x_2 = 0$, то и $x_c = 0$, что очевидно из симметрии.

Проекция на ось $Oy$: $M_1 y_1 = M_{rem} y_c + M_2 y_2$.

Подставим массы: $M_1 y_1 = \frac{3}{4}M_1 y_c + \frac{1}{4}M_1 y_2$.

Сократив на $M_1$, получим: $y_1 = \frac{3}{4}y_c + \frac{1}{4}y_2$.

Выразим $y_c$: $\frac{3}{4}y_c = y_1 - \frac{1}{4}y_2 \implies y_c = \frac{4}{3} \left(y_1 - \frac{y_2}{4}\right)$.

Подставим известные значения координат $y_1 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ и $y_2 = \frac{a\sqrt{3}}{3}$:

$y_c = \frac{4}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{4}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{a\sqrt{3}}{12}\right)$

$y_c = \frac{4}{3} \left(\frac{2a\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{12}\right) = \frac{4}{3} \left(\frac{a\sqrt{3}}{12}\right) = \frac{4a\sqrt{3}}{36} = \frac{a\sqrt{3}}{9}$

Таким образом, центр масс оставшейся трапеции находится в точке $(0, \frac{a\sqrt{3}}{9})$. Это точка на оси симметрии трапеции на расстоянии $\frac{a\sqrt{3}}{9}$ от ее большего основания.

Ответ: Центр масс находится на оси симметрии фигуры на расстоянии $\frac{a\sqrt{3}}{9}$ от большего основания.