Номер 5.88, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Раздел 5. Элементы теории вероятностей - номер 5.88, страница 190.

Условие рус.

Рис. 5.6

5.88. Какова вероятность того, что случайно выбранная точка круга радиусом $R$ принадлежит:

1) квадрату;

2) правильному треугольнику;

3) прямоугольнику со стороной $2a$ ($0

4) равнобедренной трапеции с основаниями $2a$ и $2b$ ($0

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

Вероятность того, что случайно выбранная точка круга принадлежит некоторой фигуре, вписанной в этот круг, определяется как отношение площади этой фигуры к площади круга. Площадь круга радиусом $R$ равна $S_{круга} = \pi R^2$.

1) квадрату;

Пусть сторона вписанного квадрата равна $s$. Диагональ квадрата является диаметром круга, т.е. $d=2R$. По теореме Пифагора для квадрата $s^2 + s^2 = d^2$.

$2s^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Площадь квадрата $S_{квадрата} = s^2 = 2R^2$.

Искомая вероятность $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{S_{квадрата}}{S_{круга}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi}$

Ответ: $\frac{2}{\pi}$

2) правильному треугольнику;

Площадь правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в круг радиусом $R$, можно найти, рассмотрев его как сумму трех равнобедренных треугольников с вершиной в центре круга. Каждый такой треугольник имеет две стороны, равные $R$, и угол между ними $120^\circ$.

Площадь одного такого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2}R \cdot R \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}R^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь всего правильного треугольника $S_{треуг} = 3 \cdot S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.

Искомая вероятность $P_2$ равна:

$P_2 = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

3) прямоугольнику со стороной 2a (0<a<R);

Пусть одна сторона вписанного прямоугольника равна $s_1 = 2a$. Вторая сторона пусть будет $s_2$. Диагональ прямоугольника является диаметром круга, т.е. $d=2R$. По теореме Пифагора:

$s_1^2 + s_2^2 = d^2$

$(2a)^2 + s_2^2 = (2R)^2$

$4a^2 + s_2^2 = 4R^2$

$s_2^2 = 4R^2 - 4a^2 = 4(R^2 - a^2)$

$s_2 = 2\sqrt{R^2 - a^2}$

Площадь прямоугольника $S_{прямоуг} = s_1 \cdot s_2 = 2a \cdot 2\sqrt{R^2 - a^2} = 4a\sqrt{R^2 - a^2}$.

Искомая вероятность $P_3$ равна:

$P_3 = \frac{S_{прямоуг}}{S_{круга}} = \frac{4a\sqrt{R^2 - a^2}}{\pi R^2}$

Ответ: $\frac{4a\sqrt{R^2 - a^2}}{\pi R^2}$

4) равнобедренной трапеции с основаниями 2a и 2b (0<a<R, 0<b<R), вписанной в данный круг?

Рассмотрим равнобедренную трапецию, вписанную в круг. Ее основания — это две параллельные хорды длиной $2a$ и $2b$. Высота трапеции зависит от расположения оснований относительно центра круга.

Расстояние от центра круга до хорды длиной $2a$ можно найти из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и катетом $a$: $h_a = \sqrt{R^2 - a^2}$.

Аналогично, расстояние до хорды длиной $2b$: $h_b = \sqrt{R^2 - b^2}$.

Возможны два случая:

1. Основания находятся по разные стороны от центра круга. Тогда высота трапеции $h = h_a + h_b = \sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2}$. Это случай максимальной площади.
2. Основания находятся по одну сторону от центра. Тогда высота трапеции $h = |h_a - h_b| = |\sqrt{R^2 - a^2} - \sqrt{R^2 - b^2}|$.

Как правило, если не указано иное, рассматривается первый случай. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота}$.

$S_{трап} = \frac{2a + 2b}{2}(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2}) = (a+b)(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2})$

Искомая вероятность $P_4$ равна:

$P_4 = \frac{S_{трап}}{S_{круга}} = \frac{(a+b)(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2})}{\pi R^2}$

Ответ: $\frac{(a+b)(\sqrt{R^2 - a^2} + \sqrt{R^2 - b^2})}{\pi R^2}$