Страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.1. При каких значениях $a$ число $\overline{5431a}$ делится на: 1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5; 5) 6; 6) 9; 7) 10; 8) 11?

1) 2;Число делится на 2, если его последняя цифра является четной. В числе $\overline{5431a}$ последняя цифра — это $a$. Следовательно, $a$ должно быть четной цифрой.Ответ: $a \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

2) 3;Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа $\overline{5431a}$ равна $5+4+3+1+a = 13+a$. Это выражение должно быть кратно 3. Перебирая значения $a$ от 0 до 9, находим подходящие: при $a=2$ сумма равна $15$ ($15:3=5$); при $a=5$ сумма равна $18$ ($18:3=6$); при $a=8$ сумма равна $21$ ($21:3=7$).Ответ: $a \in \{2, 5, 8\}$.

3) 4;Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. В нашем случае это число $\overline{1a}$, то есть $10+a$. Это выражение должно делиться на 4. Это выполняется при $a=2$ (число 12) и $a=6$ (число 16).Ответ: $a \in \{2, 6\}$.

4) 5;Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. В данном случае последняя цифра — это $a$.Ответ: $a \in \{0, 5\}$.

5) 6;Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3. Для делимости на 2, $a$ должно быть из множества $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ (из пункта 1). Для делимости на 3, $a$ должно быть из множества $\{2, 5, 8\}$ (из пункта 2). Чтобы число делилось на 6, значение $a$ должно принадлежать обоим множествам. Общими элементами являются 2 и 8.Ответ: $a \in \{2, 8\}$.

6) 9;Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа $\overline{5431a}$ равна $13+a$. Это выражение должно быть кратно 9. Так как $a$ — это цифра от 0 до 9, то $13+a$ может принимать значения от 13 до 22. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, — это 18. Следовательно, $13+a=18$, откуда $a=5$.Ответ: $a = 5$.

7) 10;Число делится на 10, если его последняя цифра — 0. В нашем случае это $a$.Ответ: $a = 0$.

8) 11;Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечетных местах и суммой цифр на четных местах делится на 11. Для числа $\overline{5431a}$ сумма цифр на нечетных местах (1-й, 3-й, 5-й) равна $5+3+a=8+a$. Сумма цифр на четных местах (2-й, 4-й) равна $4+1=5$. Разность равна $(8+a)-5 = 3+a$. Это выражение должно делиться на 11. Так как $a$ — цифра от 0 до 9, значение $3+a$ может быть от 3 до 12. Единственное кратное 11 число в этом диапазоне — это 11. Значит, $3+a=11$, откуда $a=8$.Ответ: $a = 8$.

6.2. Сформулируйте признак делимости целого числа на:

1) 18;

2) 25.

1) Для формулировки признака делимости на 18 необходимо разложить число 18 на взаимно простые множители. Число 18 можно представить как произведение $2 \cdot 9$. Числа 2 и 9 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1.

Таким образом, целое число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно и на 2, и на 9. Вспомним признаки делимости на 2 и на 9:

• Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть его последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8.
• Признак делимости на 9: сумма всех цифр числа должна делиться на 9.

Объединяя эти два условия, получаем искомый признак делимости на 18.

Ответ: Целое число делится на 18, если оно четное и сумма его цифр делится на 9.

2) Для формулировки признака делимости на 25 рассмотрим любое целое число $N$. Его можно представить в виде суммы: $N = 100 \cdot k + m$, где $m$ — это число, образованное двумя последними цифрами числа $N$, а $k$ — целое число, представляющее собой остальные разряды.

Поскольку число 100 делится на 25 ($100 = 4 \cdot 25$), то и произведение $100 \cdot k$ всегда будет делиться на 25 при любом целом $k$.

Следовательно, делимость всего числа $N$ на 25 зависит только от того, делится ли на 25 слагаемое $m$, то есть число, образованное двумя последними цифрами.

Числа, которые делятся на 25, должны оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.

Ответ: Целое число делится на 25, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25 (то есть оканчивается на 00, 25, 50 или 75).

6.3. Докажите, что число $abc - cba$ делится на 9, если $a > c$.

6.3. Пусть $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ — это трехзначные числа. В записи $\overline{abc}$ буква $a$ обозначает цифру сотен, $b$ — цифру десятков, а $c$ — цифру единиц. В записи $\overline{cba}$ наоборот: $c$ — цифра сотен, $b$ — десятков, $a$ — единиц. По условию $a, b, c$ являются цифрами от 0 до 9. Так как числа трехзначные, то $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Также дано условие $a > c$.

Представим эти числа в виде суммы их разрядных слагаемых:
$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$
$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих двух чисел:
$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$

После упрощения получаем:
$99a + 0 - 99c = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:
$99(a - c)$

Число 99 делится на 9, так как $99 = 9 \cdot 11$. Следовательно, полученное выражение можно записать в виде:
$9 \cdot 11 \cdot (a - c)$

Поскольку $a$ и $c$ являются целыми числами (цифрами), то их разность $(a - c)$ также является целым числом. Обозначим $k = 11 \cdot (a - c)$, где $k$ - целое число. Тогда разность чисел равна $9k$.

Так как разность чисел $\overline{abc} - \overline{cba}$ можно представить в виде произведения числа 9 и некоторого целого числа $k$, это означает, что разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ всегда делится на 9 без остатка. Условие $a > c$ гарантирует, что разность является положительным числом, но на сам факт делимости это не влияет.

Ответ: Мы показали, что разность $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a-c) = 9 \cdot 11(a-c)$. Поскольку в этом выражении присутствует множитель 9, оно всегда будет делиться на 9. Что и требовалось доказать.

6.4. Докажите, что при каждом натуральном n число:

1) $n^4-n^2$ делится на 12;

2) $n^9-n^3$ делится на 504;

3) $n^4 + 14n^2 + 49$ при n нечетном делится на 64;

4) $5^n-5$ делится на 20;

5) $7^n-7$ делится на 42.

1) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $n^4-n^2$ делится на 12.
Сначала разложим выражение на множители: $n^4-n^2 = n^2(n^2-1) = n^2(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)n$.
Чтобы доказать делимость на 12, нужно доказать делимость на 3 и на 4, поскольку $12 = 3 \cdot 4$ и числа 3 и 4 взаимно просты.
Делимость на 3: В разложении присутствует произведение трех последовательных натуральных чисел $(n-1)n(n+1)$. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, все выражение делится на 3.
Делимость на 4: Рассмотрим два случая.
Если $n$ — четное число, то его можно представить как $n=2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда $n^2=(2k)^2=4k^2$. Так как множитель $n^2$ делится на 4, то и все произведение делится на 4.
Если $n$ — нечетное число, то множители $n-1$ и $n+1$ являются двумя последовательными четными числами. Одно из них делится на 2, а другое — на 4, поэтому их произведение $(n-1)(n+1)$ делится на $2 \cdot 4 = 8$, и тем более делится на 4. Следовательно, и все выражение $(n-1)n(n+1)n$ делится на 4.
Поскольку выражение делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, равное 12.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $n^9-n^3$ делится на 504.
Разложим делитель на простые множители: $504 = 8 \cdot 9 \cdot 7$. Так как числа 7, 8 и 9 попарно взаимно просты, достаточно доказать, что выражение $n^9-n^3$ делится на 7, 8 и 9.
Разложим исходное выражение на множители: $n^9-n^3 = n^3(n^6-1)$.
Делимость на 7: По Малой теореме Ферма, для любого натурального $n$ и простого числа $p$ выполняется $n^p \equiv n \pmod p$. Для $p=7$ имеем $n^7 \equiv n \pmod 7$. Если $n$ кратно 7, то $n^3$ делится на 7, и все выражение делится на 7. Если $n$ не кратно 7, то по Малой теореме Ферма $n^{7-1} = n^6 \equiv 1 \pmod 7$, откуда $n^6-1$ делится на 7. В обоих случаях $n^3(n^6-1)$ делится на 7.
Делимость на 9: Рассмотрим возможные остатки от деления $n$ на 3.
Если $n \equiv 0 \pmod 3$, то $n=3k$, и $n^3 = 27k^3$ делится на 9.
Если $n \equiv 1 \pmod 3$, то $n^3 \equiv 1 \pmod 9$ (например, $(3k+1)^3 = 27k^3+27k^2+9k+1 \equiv 1 \pmod 9$). Тогда $n^6 = (n^3)^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod 9$, и $n^6-1$ делится на 9.
Если $n \equiv -1 \pmod 3$, то $n^3 \equiv -1 \pmod 9$ (например, $(3k-1)^3 = 27k^3-27k^2+9k-1 \equiv -1 \pmod 9$). Тогда $n^6 = (n^3)^2 \equiv (-1)^2 = 1 \pmod 9$, и $n^6-1$ делится на 9.
Таким образом, выражение всегда делится на 9.
Делимость на 8:
Если $n$ — четное, $n=2k$, то $n^3 = (2k)^3=8k^3$ делится на 8.
Если $n$ — нечетное, то $n^2$ при делении на 8 дает в остатке 1, то есть $n^2 \equiv 1 \pmod 8$ (поскольку $(2k+1)^2=4k(k+1)+1$ и $k(k+1)$ четно). Тогда $n^6 = (n^2)^3 \equiv 1^3 = 1 \pmod 8$, откуда $n^6-1$ делится на 8.
Таким образом, выражение всегда делится на 8.
Поскольку выражение делится на 7, 8 и 9, оно делится на их произведение $7 \cdot 8 \cdot 9 = 504$.
Ответ: Утверждение доказано.

3) Требуется доказать, что при $n$ нечетном число $n^4+14n^2+49$ делится на 64.
Заметим, что выражение является полным квадратом: $n^4+14n^2+49 = (n^2+7)^2$.
По условию $n$ — нечетное число. Любое нечетное число $n$ можно представить в виде $n=2k+1$ для некоторого целого $k$.
Тогда $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4k(k+1)+1$.
Произведение $k(k+1)$ всегда четно, так как это произведение двух последовательных целых чисел. Пусть $k(k+1)=2m$.
Тогда $n^2 = 4(2m)+1 = 8m+1$. Это значит, что квадрат любого нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $n^2+7 = (8m+1)+7 = 8m+8 = 8(m+1)$.
Это показывает, что $n^2+7$ делится на 8.
Тогда $(n^2+7)^2 = (8(m+1))^2 = 64(m+1)^2$.
Полученное выражение очевидно делится на 64.
Ответ: Утверждение доказано.

4) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $5^n-5$ делится на 20.
Разложим выражение на множители: $5^n-5 = 5(5^{n-1}-1)$.
Выражение очевидно делится на 5. Чтобы доказать делимость на 20, нужно показать, что оно также делится на 4. Для этого достаточно доказать, что $5^{n-1}-1$ делится на 4 для любого натурального $n$.
При $n=1$, $5^{1-1}-1 = 5^0-1 = 1-1=0$. $0$ делится на 4.
При $n>1$, $n-1 \ge 1$. Используем формулу разности степеней $a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+b^{k-1})$:
$5^{n-1}-1 = 5^{n-1}-1^{n-1} = (5-1)(5^{n-2} + 5^{n-3} + \dots + 5^1 + 1) = 4 \cdot (5^{n-2} + \dots + 1)$.
Так как второй множитель является целым числом, то $5^{n-1}-1$ делится на 4.
Следовательно, выражение $5(5^{n-1}-1)$ делится на $5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: Утверждение доказано.

5) Требуется доказать, что при каждом натуральном $n$ число $7^n-7$ делится на 42.
Разложим делитель на множители: $42 = 6 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. Нужно доказать делимость выражения на 2, 3 и 7.
Разложим исходное выражение на множители: $7^n-7 = 7(7^{n-1}-1)$.
Делимость на 7: Наличие множителя 7 показывает, что выражение делится на 7.
Делимость на 6: Докажем, что $7^{n-1}-1$ делится на 6. Для этого покажем делимость на 2 и 3.
Делимость на 2: 7 — нечетное число, любая его натуральная степень $7^{n-1}$ также нечетна. Разность нечетного числа и единицы ($7^{n-1}-1$) всегда является четным числом, то есть делится на 2.
Делимость на 3: Рассмотрим остатки по модулю 3. $7 \equiv 1 \pmod 3$. Тогда $7^{n-1} \equiv 1^{n-1} = 1 \pmod 3$. Отсюда $7^{n-1}-1 \equiv 1-1 = 0 \pmod 3$, то есть $7^{n-1}-1$ делится на 3.
Поскольку $7^{n-1}-1$ делится на 2 и на 3, оно делится на их произведение 6.
Итак, мы показали, что $7^{n-1}-1$ делится на 6, а $7(7^{n-1}-1)$ делится на 7. Следовательно, выражение делится на $6 \cdot 7 = 42$.
Ответ: Утверждение доказано.

6.5. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел делится на 24.

Рассмотрим произведение четырех последовательных целых чисел. Обозначим первое из этих чисел как $n$, тогда их произведение $P$ будет равно:

$P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3)$

Есть несколько способов доказать, что $P$ делится на 24.

Способ 1: Использование свойств делимости

Чтобы доказать, что число делится на 24, достаточно доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \times 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми (то есть их наибольший общий делитель равен 1).

1. Делимость на 3. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. В нашей последовательности из четырех чисел ($n, n+1, n+2, n+3$) содержится по крайней мере одна тройка последовательных чисел (например, $n, n+1, n+2$). Следовательно, один из множителей в произведении $P$ делится на 3, а значит, и все произведение $P$ делится на 3.

2. Делимость на 8. Среди четырех последовательных целых чисел всегда есть ровно два четных числа. Эти два четных числа отстоят друг от друга на 2.

• Если $n$ четное, то четными будут числа $n$ и $n+2$. Одно из этих двух последовательных четных чисел обязательно делится на 4. Например, если $n$ имеет вид $4k$, то оно делится на 4. Если $n$ имеет вид $4k+2$, то $n+2 = 4k+4 = 4(k+1)$, что делится на 4. Таким образом, один из четных множителей делится на 2, а другой — на 4, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$.
• Если $n$ нечетное, то четными будут числа $n+1$ и $n+3$. Пусть $n+1 = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n+3 = 2k+2 = 2(k+1)$. Их произведение равно $(2k) \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Так как $k$ и $k+1$ — два последовательных числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Следовательно, произведение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.

Поскольку $P$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение, то есть на 24.

Способ 2: Использование биномиальных коэффициентов

Произведение $n(n+1)(n+2)(n+3)$ можно связать с биномиальным коэффициентом (числом сочетаний). Биномиальный коэффициент $\binom{k}{m}$ определяется как $\binom{k}{m} = \frac{k!}{m!(k-m)!}$ и всегда является целым числом.

Рассмотрим биномиальный коэффициент $\binom{n+3}{4}$:

$\binom{n+3}{4} = \frac{(n+3)!}{4!(n+3-4)!} = \frac{(n+3)!}{4!(n-1)!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!}$

Отсюда мы можем выразить произведение:

$n(n+1)(n+2)(n+3) = 4! \cdot \binom{n+3}{4}$

Значение факториала $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, $P = 24 \cdot \binom{n+3}{4}$.

Поскольку $\binom{n+3}{4}$ всегда является целым числом для любого целого $n$ (включая отрицательные значения и 0, при которых коэффициент может быть равен 0 или другому целому числу по обобщенной формуле), то произведение $P$ является произведением 24 на целое число. Это по определению означает, что $P$ делится на 24.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение четырех последовательных целых чисел всегда делится на 24, так как оно может быть представлено в виде $24 \cdot C$, где $C$ — целое число (биномиальный коэффициент $\binom{n+3}{4}$).

6.6. Докажите, что разность куба целого числа и самого числа делится на 24.

Утверждение, представленное в задаче, неверно в общем виде для всех целых чисел. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести контрпример. Для целого числа $n=2$ разность куба этого числа и самого числа составляет:$n^3 - n = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$.Число 6 не делится нацело на 24. Таким образом, исходное утверждение неверно.

Однако можно доказать, что данное утверждение справедливо для всех нечетных целых чисел.

Пусть $n$ — произвольное нечетное целое число. Рассмотрим выражение $n^3 - n$. Разложим его на множители:$n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$.Это произведение трех последовательных целых чисел.

Чтобы доказать, что выражение делится на 24, необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \cdot 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Сначала докажем делимость на 3. Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно всегда делится на 3, поэтому их произведение всегда делится на 3 для любого целого $n$.

Теперь докажем делимость на 8. Поскольку по условию $n$ — нечетное число, то $n-1$ и $n+1$ — это два последовательных четных числа. Среди двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4 (например, пары 2 и 4; 4 и 6; 6 и 8). Таким образом, их произведение $(n-1)(n+1)$ всегда содержит один множитель, кратный 2, и один множитель, кратный 4, а значит, само произведение делится на $2 \cdot 4 = 8$. Следовательно, и все выражение $(n-1)n(n+1)$ делится на 8.

Поскольку для любого нечетного целого числа $n$ выражение $n^3-n$ делится и на 3, и на 8, то оно делится и на их произведение, равное 24.

Ответ: Утверждение в задаче сформулировано неверно. Например, для $n=2$ получаем $2^3-2=6$, что не делится на 24. Утверждение верно только для всех нечетных целых чисел.

6.7. Докажите, что разность квадрата нечетного числа и единицы делится на 8.

6.7. Пусть $n$ - произвольное нечетное число. Необходимо доказать, что разность квадрата этого числа и единицы, то есть выражение $n^2 - 1$, делится на 8.

Разложим выражение $n^2 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Поскольку $n$ является нечетным числом, то числа $(n - 1)$ и $(n + 1)$ являются двумя последовательными четными числами. Например, если $n=3$, то множители равны $2$ и $4$. Если $n=9$, то множители равны $8$ и $10$.

Докажем, что произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8.

Пусть одно из последовательных четных чисел равно $2k$ для некоторого целого числа $k$. Тогда другое число будет равно $2k + 2$.

Найдем их произведение:

$(2k)(2k + 2) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1)$

Теперь рассмотрим произведение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел ($k$ или $k+1$) обязательно является четным, а другое - нечетным. Произведение четного и нечетного числа всегда является четным. Следовательно, произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2.

Это означает, что мы можем записать $k(k + 1) = 2m$, где $m$ - некоторое целое число.

Подставим это обратно в выражение для произведения двух последовательных четных чисел:

$4k(k + 1) = 4 \cdot (2m) = 8m$

Выражение $8m$ очевидно делится на 8 для любого целого $m$.

Таким образом, мы доказали, что произведение $(n - 1)(n + 1)$, а следовательно, и выражение $n^2 - 1$, всегда делится на 8.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.8. Если три простых числа, больших, чем 3, образуют арифметическую прогрессию, то разность этой прогрессии кратна 6. Докажите.

Пусть три простых числа, больших 3, образуют арифметическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии как $p$, а разность прогрессии как $d$. Тогда эти три числа можно записать в виде: $p$, $p+d$ и $p+2d$. Нам нужно доказать, что разность $d$ кратна 6. Для этого необходимо показать, что $d$ делится одновременно на 2 и на 3.

Доказательство делимости $d$ на 2

По условию, все три числа $p$, $p+d$, $p+2d$ являются простыми и больше 3. Любое простое число, большее 2, является нечетным. Следовательно, $p$ — нечетное число. Число $p+d$ также является простым и большим 3, значит, оно тоже нечетное. Разность двух нечетных чисел всегда является четным числом. Рассмотрим разность второго и первого членов прогрессии: $d = (p+d) - p$. Так как $p+d$ — нечетное и $p$ — нечетное, то их разность $d$ должна быть четным числом. Таким образом, $d$ делится на 2.

Доказательство делимости $d$ на 3

Докажем этот факт методом от противного. Предположим, что $d$ не делится на 3. Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке либо 1, либо 2. Это относится ко всем трем членам прогрессии $p, p+d, p+2d$.

Рассмотрим остатки членов прогрессии при делении на 3. Так как $p$ — простое число больше 3, то $p \not\equiv 0 \pmod 3$. Возможны два варианта для остатка $p$: $p \equiv 1 \pmod 3$ или $p \equiv 2 \pmod 3$. Так как мы предположили, что $d$ не делится на 3, то для остатка $d$ также возможны два варианта: $d \equiv 1 \pmod 3$ или $d \equiv 2 \pmod 3$.

Рассмотрим все четыре возможные комбинации остатков для $p$ и $d$:
1. Если $p \equiv 1 \pmod 3$ и $d \equiv 1 \pmod 3$, то остатки членов $p, p+d, p+2d$ при делении на 3 будут соответственно $1, 2, 0$. Третий член $p+2d$ делится на 3.
2. Если $p \equiv 2 \pmod 3$ и $d \equiv 1 \pmod 3$, то остатки будут $2, 0, 1$. Второй член $p+d$ делится на 3.
3. Если $p \equiv 1 \pmod 3$ и $d \equiv 2 \pmod 3$, то остатки будут $1, 0, 2$. Второй член $p+d$ делится на 3.
4. Если $p \equiv 2 \pmod 3$ и $d \equiv 2 \pmod 3$, то остатки будут $2, 1, 0$. Третий член $p+2d$ делится на 3.

В каждом из этих случаев один из членов прогрессии ($p+d$ или $p+2d$) оказывается кратным 3. Но по условию, все три члена — простые числа больше 3, и они не могут делиться на 3. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $d$ не делится на 3, неверно. Значит, $d$ должно делиться на 3.

Заключение

Мы доказали, что разность прогрессии $d$ делится на 2 и делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 являются взаимно простыми, $d$ должно делиться на их произведение, то есть на $2 \times 3 = 6$. Таким образом, разность арифметической прогрессии кратна 6.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.9. Докажите, что любое нечетное простое число представляется в виде $4m-1$ или $4m+1$, где $m$ – натуральное число.

Пусть $p$ — произвольное нечетное простое число. По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Все простые числа, кроме числа 2, являются нечетными.

Согласно теореме о делении с остатком, любое целое число при делении на 4 можно представить в одном из четырех следующих видов, где $q$ — некоторое целое число:
1. $p = 4q$ (остаток 0)
2. $p = 4q + 1$ (остаток 1)
3. $p = 4q + 2$ (остаток 2)
4. $p = 4q + 3$ (остаток 3)

Поскольку по условию $p$ — нечетное простое число, оно не может быть четным. Проанализируем каждый из четырех случаев:

Случай $p = 4q$: число $p$ делится нацело на 4, а значит, и на 2. Следовательно, $p$ — четное число. Единственное четное простое число — это 2, но мы рассматриваем нечетные простые числа. Значит, этот случай невозможен.

Случай $p = 4q + 2$: вынеся 2 за скобки, получим $p = 2(2q + 1)$. Это означает, что $p$ также является четным числом. По той же причине, что и в первом случае, этот вариант для нечетного простого числа невозможен.

Таким образом, любое нечетное простое число $p$ должно иметь вид либо $p = 4q + 1$, либо $p = 4q + 3$. Теперь необходимо показать, что эти формы соответствуют формам $4m+1$ и $4m-1$, где $m$ — натуральное число.

Если $p = 4q + 1$. Поскольку $p$ — нечетное простое число, то $p \ge 3$. Из неравенства $4q + 1 \ge 3$ следует, что $4q \ge 2$, или $q \ge \frac{1}{2}$. Так как $q$ — целое число, то $q$ должно быть как минимум 1. Это означает, что $q$ является натуральным числом. Мы можем положить $m = q$. Таким образом, $p$ представляется в виде $p = 4m + 1$, где $m$ — натуральное число.

Если $p = 4q + 3$. Мы можем преобразовать это выражение: $p = 4q + 3 = (4q + 4) - 1 = 4(q + 1) - 1$. Положим $m = q + 1$. Так как $p \ge 3$, из неравенства $4q + 3 \ge 3$ следует, что $4q \ge 0$, или $q \ge 0$. Поскольку $q$ — целое неотрицательное число ($q \in \{0, 1, 2, ...\}$), то $m = q + 1$ будет натуральным числом ($m \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, $p$ представляется в виде $p = 4m - 1$, где $m$ — натуральное число.

Мы показали, что любое нечетное простое число не может быть представлено в виде $4q$ или $4q+2$, и обязательно представляется либо в виде $4m+1$, либо в виде $4m-1$, где $m$ — натуральное число. Что и требовалось доказать.

Ответ: Любое целое число при делении на 4 дает один из остатков: 0, 1, 2 или 3. Нечетное простое число $p$ не может быть четным, поэтому случаи, когда $p=4q$ (остаток 0) и $p=4q+2$ (остаток 2), исключаются, так как они описывают четные числа. Следовательно, для $p$ остаются две возможности: $p=4q+1$ или $p=4q+3$. В первом случае, так как $p \ge 3$, то $q$ должно быть натуральным числом. Обозначив $q$ как $m$, получаем вид $p=4m+1$. Во втором случае, $p=4q+3$ можно записать как $p=4(q+1)-1$. Так как $p \ge 3$, то $q$ — целое неотрицательное число. Обозначив $q+1$ как $m$, получаем, что $m$ — натуральное число, и $p$ имеет вид $4m-1$. Таким образом, утверждение доказано.

6.10. Найдите $a$ и $b$, если:

1) $a : b = 4 : 7$ и $(a, b) = 8;$

2) $[a, b] = 124$ и $(a, b) = 31;$

3) $ab = 375$ и $[a, b] = 75.$

1) Дано, что $a : b = 4 : 7$ и наибольший общий делитель $(a, b) = 8$.
Из соотношения $a : b = 4 : 7$ следует, что числа $a$ и $b$ можно представить в виде $a = 4k$ и $b = 7k$, где $k$ – некоторый общий множитель.
Поскольку числа 4 и 7 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), то наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ будет равен этому множителю $k$.
$(a, b) = (4k, 7k) = k \cdot (4, 7) = k \cdot 1 = k$.
По условию $(a, b) = 8$, следовательно, $k = 8$.
Теперь найдем $a$ и $b$:
$a = 4k = 4 \cdot 8 = 32$
$b = 7k = 7 \cdot 8 = 56$
Проверка: $32:56 = (4 \cdot 8) : (7 \cdot 8) = 4:7$. $(32, 56)=8$.
Ответ: $a = 32, b = 56$.

2) Дано, что наименьшее общее кратное $[a, b] = 124$ и наибольший общий делитель $(a, b) = 31$.
Пусть $d = (a, b) = 31$. Тогда числа $a$ и $b$ можно представить в виде $a = d \cdot a' = 31a'$ и $b = d \cdot b' = 31b'$, где $a'$ и $b'$ – взаимно простые числа, то есть $(a', b')=1$.
Воспользуемся свойством, связывающим НОД и НОК: $[a, b] = d \cdot a' \cdot b'$.
Подставим известные значения: $124 = 31 \cdot a' \cdot b'$.
Отсюда найдем произведение $a'b'$: $a'b' = \frac{124}{31} = 4$.
Теперь нужно найти пары взаимно простых натуральных чисел $a'$ и $b'$, произведение которых равно 4. Единственная такая пара (с точностью до перестановки) — это 1 и 4, так как $(1, 4) = 1$. Пара (2, 2) не подходит, так как $(2, 2) = 2 \ne 1$.
Пусть $a' = 1$ и $b' = 4$. Тогда:
$a = 31 \cdot 1 = 31$
$b = 31 \cdot 4 = 124$
Если $a' = 4$ и $b' = 1$, то $a = 124$ и $b = 31$. В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару чисел.
Ответ: числа $a$ и $b$ равны 31 и 124.

3) Дано, что произведение $ab = 375$ и наименьшее общее кратное $[a, b] = 75$.
Воспользуемся основной формулой, связывающей произведение чисел, их НОД и НОК: $ab = (a, b) \cdot [a, b]$.
Подставим известные значения: $375 = (a, b) \cdot 75$.
Найдем наибольший общий делитель $(a, b)$: $(a, b) = \frac{375}{75} = 5$.
Теперь задача сводится к нахождению чисел $a$ и $b$, зная их НОД и НОК: $(a, b) = 5$ и $[a, b] = 75$.
Пусть $d = (a, b) = 5$. Представим числа в виде $a = 5a'$ и $b = 5b'$, где $(a', b') = 1$.
Из формулы для НОК $[a, b] = d \cdot a' \cdot b'$ имеем: $75 = 5 \cdot a' \cdot b'$.
Отсюда $a'b' = \frac{75}{5} = 15$.
Найдем все пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 15. Таких пар две:
1) $a'=1, b'=15$. Они взаимно просты, $(1, 15) = 1$.
2) $a'=3, b'=5$. Они взаимно просты, $(3, 5) = 1$.
Это дает нам два возможных набора чисел $a$ и $b$.
Случай 1: $a'=1, b'=15$.
$a = 5 \cdot 1 = 5$
$b = 5 \cdot 15 = 75$
(или наоборот, $a = 75, b = 5$).
Случай 2: $a'=3, b'=5$.
$a = 5 \cdot 3 = 15$
$b = 5 \cdot 5 = 25$
(или наоборот, $a = 25, b = 15$).
Ответ: $a=5, b=75$ (или $a=75, b=5$), а также $a=15, b=25$ (или $a=25, b=15$).

6.11. Вычислите:

1) $15 - \frac{6}{7} - 12 \cdot \frac{6}{7} \cdot \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$;

2) $\left( 2,125 \cdot \frac{15}{17} - 1 \frac{7}{12} \right) : 7,25$;

3) $\frac{12,8 : 0,64 + 3,05 : 0,05}{8 \frac{2}{3} : 1 \frac{4}{9} - 1}$;

4) $\frac{203,4 : 9 - (5,39 - 7,39)}{\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9} - \frac{1}{3}}$;

5) $\left( 1 \frac{1}{3} \cdot 0,27 - 3 \frac{1}{3} \cdot 0,15 \right) - 1500 \cdot (-0,1)^3$;

6) $\left( \frac{6}{64} \cdot 5 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \right) : \left( - \frac{1}{3} \right)^3 + (-1)^5$;

7) $(0,3)^{-3} + \left( \frac{3}{7} \right)^{-1} + (-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4} + (-1)^6 \cdot 6$;

8) $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} - \left( \frac{1}{9} \right)^{-1} + \left( \frac{6}{17} \right)^0 \cdot \frac{1}{8} - 0,25^{-2} \cdot 16$.

1) Решим по действиям. Сначала выполним действие в скобках, приведем дроби к общему знаменателю 30: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$. Далее выполним умножение. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби: $12\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{12 \cdot 7 + 6}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{90}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{90}{42} = \frac{15}{7}$. Последним действием выполним вычитание: $15\frac{6}{7} - \frac{15}{7} = \frac{15 \cdot 7 + 6}{7} - \frac{15}{7} = \frac{111}{7} - \frac{15}{7} = \frac{96}{7} = 13\frac{5}{7}$. Ответ: $13\frac{5}{7}$.

2) Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $2,125 = 2\frac{125}{1000} = 2\frac{1}{8} = \frac{17}{8}$; $7,25 = 7\frac{25}{100} = 7\frac{1}{4} = \frac{29}{4}$. Выполним умножение в скобках, представив смешанное число в виде неправильной дроби: $\frac{17}{8} \cdot 1\frac{15}{17} = \frac{17}{8} \cdot \frac{1 \cdot 17 + 15}{17} = \frac{17}{8} \cdot \frac{32}{17} = \frac{32}{8} = 4$. Выполним вычитание в скобках: $4 - 1\frac{7}{12} = 4 - \frac{19}{12} = \frac{48}{12} - \frac{19}{12} = \frac{29}{12}$. Выполним деление: $\frac{29}{12} : 7,25 = \frac{29}{12} : \frac{29}{4} = \frac{29}{12} \cdot \frac{4}{29} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) Вычислим значение числителя: $12,8:0,64 + 3,05:0,05 = 1280:64 + 305:5 = 20 + 61 = 81$. Вычислим значение знаменателя. Сначала деление, представив смешанные числа в виде неправильных дробей: $8\frac{2}{3}:1\frac{4}{9} = \frac{26}{3}:\frac{13}{9} = \frac{26}{3} \cdot \frac{9}{13} = 2 \cdot 3 = 6$. Теперь вычитание: $6 - 1 = 5$. Найдем значение дроби: $\frac{81}{5} = 16,2$. Ответ: $16,2$.

4) Вычислим значение числителя. Сначала деление, затем вычитание в скобках: $203,4:9 - (5,39 - 7,39) = 22,6 - (-2) = 22,6 + 2 = 24,6$. Вычислим значение знаменателя. Сначала умножение, затем вычитание: $\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}$. Найдем значение дроби, разделив числитель на знаменатель: $24,6 : (-\frac{1}{6}) = \frac{246}{10} \cdot (-6) = -\frac{123}{5} \cdot 6 = -\frac{738}{5} = -147,6$. Ответ: $-147,6$.

5) Решим по действиям. Сначала выполним действия в скобках. Преобразуем смешанные числа и десятичные дроби в удобный для вычислений вид: $1\frac{1}{3} \cdot 0,27 - 3\frac{1}{3} \cdot 0,15 = \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{100} - \frac{10}{3} \cdot \frac{15}{100} = \frac{4 \cdot 9}{100} - \frac{10 \cdot 5}{100} = \frac{36}{100} - \frac{50}{100} = -\frac{14}{100} = -0,14$. Теперь вычислим вторую часть выражения: $1500 \cdot (-0,1)^3 = 1500 \cdot (-0,001) = -1,5$. Выполним вычитание: $-0,14 - (-1,5) = -0,14 + 1,5 = 1,36$. Ответ: $1,36$.

6) Выполним действия по порядку. Сначала в скобках. Умножение: $\frac{6}{64} \cdot 5\frac{1}{3} = \frac{3}{32} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{2}$. Вычитание в скобках: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. Возведение в степень делителя: $(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$. Выполним деление: $\frac{1}{6} : (-\frac{1}{27}) = \frac{1}{6} \cdot (-27) = -\frac{27}{6} = -\frac{9}{2}$. Вычислим последнее слагаемое: $(-1)^5 = -1$. Выполним сложение: $-\frac{9}{2} + (-1) = -4,5 - 1 = -5,5$. Ответ: $-5,5$.

7) Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности. $(0,3)^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{1000}{27}$. $(\frac{3}{7})^{-1} = \frac{7}{3}$. $(-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4} = (-\frac{1}{2})^{-2} \cdot \frac{3}{4} = (-2)^2 \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$. $(-1)^6 \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$. Сложим все полученные значения: $\frac{1000}{27} + \frac{7}{3} + 3 + 6 = \frac{1000}{27} + \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 9 = \frac{1000}{27} + \frac{63}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27} = \frac{1000 + 63 + 243}{27} = \frac{1306}{27} = 48\frac{10}{27}$. Ответ: $48\frac{10}{27}$.

8) Вычислим значение каждого члена выражения. $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. $-(-\frac{1}{9})^{-1} = -(-9) = 9$. $(\frac{6}{17})^0 \cdot \frac{1}{8} = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$. $-0,25^{-2} \cdot 16 = -(\frac{1}{4})^{-2} \cdot 16 = -(4^2) \cdot 16 = -16 \cdot 16 = -256$. Соберем все вместе: $\frac{9}{4} + 9 + \frac{1}{8} - 256 = (\frac{9}{4} + \frac{1}{8}) + (9 - 256) = (\frac{18}{8} + \frac{1}{8}) - 247 = \frac{19}{8} - 247 = 2\frac{3}{8} - 247 = -244\frac{5}{8}$. Ответ: $-244\frac{5}{8}$.