Номер 6.5, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.5. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел делится на 24.

Рассмотрим произведение четырех последовательных целых чисел. Обозначим первое из этих чисел как $n$, тогда их произведение $P$ будет равно:

$P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3)$

Есть несколько способов доказать, что $P$ делится на 24.

Способ 1: Использование свойств делимости

Чтобы доказать, что число делится на 24, достаточно доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \times 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми (то есть их наибольший общий делитель равен 1).

1. Делимость на 3. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. В нашей последовательности из четырех чисел ($n, n+1, n+2, n+3$) содержится по крайней мере одна тройка последовательных чисел (например, $n, n+1, n+2$). Следовательно, один из множителей в произведении $P$ делится на 3, а значит, и все произведение $P$ делится на 3.

2. Делимость на 8. Среди четырех последовательных целых чисел всегда есть ровно два четных числа. Эти два четных числа отстоят друг от друга на 2.

• Если $n$ четное, то четными будут числа $n$ и $n+2$. Одно из этих двух последовательных четных чисел обязательно делится на 4. Например, если $n$ имеет вид $4k$, то оно делится на 4. Если $n$ имеет вид $4k+2$, то $n+2 = 4k+4 = 4(k+1)$, что делится на 4. Таким образом, один из четных множителей делится на 2, а другой — на 4, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$.
• Если $n$ нечетное, то четными будут числа $n+1$ и $n+3$. Пусть $n+1 = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n+3 = 2k+2 = 2(k+1)$. Их произведение равно $(2k) \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Так как $k$ и $k+1$ — два последовательных числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Следовательно, произведение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.

Поскольку $P$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение, то есть на 24.

Способ 2: Использование биномиальных коэффициентов

Произведение $n(n+1)(n+2)(n+3)$ можно связать с биномиальным коэффициентом (числом сочетаний). Биномиальный коэффициент $\binom{k}{m}$ определяется как $\binom{k}{m} = \frac{k!}{m!(k-m)!}$ и всегда является целым числом.

Рассмотрим биномиальный коэффициент $\binom{n+3}{4}$:

$\binom{n+3}{4} = \frac{(n+3)!}{4!(n+3-4)!} = \frac{(n+3)!}{4!(n-1)!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!}$

Отсюда мы можем выразить произведение:

$n(n+1)(n+2)(n+3) = 4! \cdot \binom{n+3}{4}$

Значение факториала $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, $P = 24 \cdot \binom{n+3}{4}$.

Поскольку $\binom{n+3}{4}$ всегда является целым числом для любого целого $n$ (включая отрицательные значения и 0, при которых коэффициент может быть равен 0 или другому целому числу по обобщенной формуле), то произведение $P$ является произведением 24 на целое число. Это по определению означает, что $P$ делится на 24.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение четырех последовательных целых чисел всегда делится на 24, так как оно может быть представлено в виде $24 \cdot C$, где $C$ — целое число (биномиальный коэффициент $\binom{n+3}{4}$).