Номер 6.12, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.12. Вычислите:

1) $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + 1;$

2) $\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} - 3;$

3) $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2};$

4) $(\sqrt{5}-3) \cdot \sqrt{14+6\sqrt{5}};$

5) $(\sqrt{5}-2) \cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}};$

6) $(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}};$

7) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$

1) Вычислим значение выражения $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + 1 $.

Согласно свойству квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $, имеем: $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| $.

Поскольку $ \sqrt{5} \approx 2.236 $, то $ \sqrt{5} > 1 $, и, следовательно, выражение $ \sqrt{5}-1 $ положительно.

Таким образом, $ |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1 $.

Подставим это обратно в исходное выражение: $ (\sqrt{5}-1) + 1 = \sqrt{5} $.

Ответ: $ \sqrt{5} $

2) Вычислим значение выражения $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} - 3 $.

Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $: $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-3| $.

Сравним $ \sqrt{5} $ и $ 3 $. Так как $ 5 < 9 $, то $ \sqrt{5} < \sqrt{9} = 3 $. Следовательно, выражение $ \sqrt{5}-3 $ отрицательно.

По определению модуля, $ |\sqrt{5}-3| = -(\sqrt{5}-3) = 3-\sqrt{5} $.

Подставим это в исходное выражение: $ (3-\sqrt{5}) - 3 = -\sqrt{5} $.

Ответ: $ -\sqrt{5} $

3) Вычислим значение выражения $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} $.

Это выражение является суммой модулей, которые мы нашли в предыдущих двух заданиях.

Из пункта 1) мы знаем, что $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1 $.

Из пункта 2) мы знаем, что $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-3| = 3-\sqrt{5} $.

Сложим эти два результата: $ (\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-1+3-\sqrt{5} = 2 $.

Ответ: $ 2 $

4) Вычислим значение выражения $ (\sqrt{5}-3) \cdot \sqrt{14+6\sqrt{5}} $.

Упростим выражение под корнем $ 14+6\sqrt{5} $, представив его в виде квадрата суммы по формуле $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

Заметим, что $ 14+6\sqrt{5} = 9 + 5 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 3^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = (3+\sqrt{5})^2 $.

Тогда $ \sqrt{14+6\sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = |3+\sqrt{5}| = 3+\sqrt{5} $, так как $ 3+\sqrt{5} > 0 $.

Теперь исходное выражение принимает вид: $ (\sqrt{5}-3) \cdot (3+\sqrt{5}) $.

Используем формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $: $ (\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3) = (\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5-9 = -4 $.

Ответ: $ -4 $

5) Вычислим значение выражения $ (\sqrt{5}-2) \cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}} $.

Упростим выражение под корнем $ 9+4\sqrt{5} $, представив его в виде квадрата суммы.

Заметим, что $ 9+4\sqrt{5} = 5 + 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 = (\sqrt{5}+2)^2 $.

Тогда $ \sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = |\sqrt{5}+2| = \sqrt{5}+2 $, так как $ \sqrt{5}+2 > 0 $.

Исходное выражение принимает вид: $ (\sqrt{5}-2) \cdot (\sqrt{5}+2) $.

По формуле разности квадратов: $ (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

6) Вычислим значение выражения $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} $.

Упростим выражение под корнем $ 5-2\sqrt{6} $, представив его в виде квадрата разности по формуле $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $.

Заметим, что $ 5-2\sqrt{6} = 3 + 2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 $.

Тогда $ \sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}| $.

Так как $ 3>2 $, то $ \sqrt{3}>\sqrt{2} $, поэтому $ \sqrt{3}-\sqrt{2} > 0 $. Следовательно, $ |\sqrt{3}-\sqrt{2}| = \sqrt{3}-\sqrt{2} $.

Исходное выражение принимает вид: $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2}) $.

По формуле разности квадратов: $ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1 $.

Ответ: $ 1 $

7) Вычислим сумму $ \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} $.

Данная сумма является телескопической. Упростим общий член ряда $ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} $ для $ k=1, 2, \dots, 99 $.

Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $:

$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $.

Теперь вся сумма принимает вид:

$ (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) $.

Раскрыв скобки, мы видим, что большинство слагаемых взаимно уничтожаются: $ \sqrt{2} $ и $ -\sqrt{2} $, $ \sqrt{3} $ и $ -\sqrt{3} $, и так далее до $ \sqrt{99} $ и $ -\sqrt{99} $.

В сумме остаются только первый член из первой разности $ (-\sqrt{1}) $ и последний член из последней разности $ (\sqrt{100}) $.

Таким образом, сумма равна $ \sqrt{100} - \sqrt{1} $.

Вычислим результат: $ 10 - 1 = 9 $.

Ответ: $ 9 $