Номер 6.19, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.19. Запишите выражения в виде двучлена:

1) $(2x+1)(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1);$

2) $(\frac{2}{3}x-3ab) \cdot (\frac{8}{27}x^3+\frac{4}{3}x^2ab+6xa^2b^2+27a^3b^3).$

1) Для того чтобы записать выражение $(2x+1)(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1)$ в виде двучлена, воспользуемся формулой суммы пятых степеней: $a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$.
В данном выражении первый множитель $(2x+1)$ позволяет предположить, что $a = 2x$ и $b = 1$.
Проверим, соответствует ли второй множитель $(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1)$ второй части формулы $(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$ при $a=2x$ и $b=1$.
Найдем каждый член этого выражения:
$a^4 = (2x)^4 = 16x^4$
$a^3b = (2x)^3 \cdot 1 = 8x^3$
$a^2b^2 = (2x)^2 \cdot 1^2 = 4x^2$
$ab^3 = (2x) \cdot 1^3 = 2x$
$b^4 = 1^4 = 1$
Подставив эти значения в формулу, получаем: $(2x)^4 - (2x)^3 \cdot 1 + (2x)^2 \cdot 1^2 - (2x) \cdot 1^3 + 1^4 = 16x^4-8x^3+4x^2-2x+1$.
Это в точности совпадает со вторым множителем в исходном выражении.Следовательно, мы можем применить формулу суммы пятых степеней:
$(2x+1)(16x^4-8x^3+4x^2-2x+1) = (2x)^5 + 1^5 = 32x^5 + 1$.
Ответ: $32x^5 + 1$

2) Для того чтобы записать выражение $(\frac{2}{3}x - 3ab) \cdot (\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3)$ в виде двучлена, воспользуемся формулой разности четвертых степеней: $a^4-b^4 = (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$.
В данном выражении первый множитель $(\frac{2}{3}x - 3ab)$ позволяет предположить, что $a = \frac{2}{3}x$ и $b = 3ab$.
Проверим, соответствует ли второй множитель $(\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3)$ второй части формулы $(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$ при $a = \frac{2}{3}x$ и $b = 3ab$.
Найдем каждый член этого выражения:
$a^3 = (\frac{2}{3}x)^3 = \frac{8}{27}x^3$
$a^2b = (\frac{2}{3}x)^2 \cdot (3ab) = \frac{4}{9}x^2 \cdot 3ab = \frac{12}{9}x^2ab = \frac{4}{3}x^2ab$
$ab^2 = (\frac{2}{3}x) \cdot (3ab)^2 = \frac{2}{3}x \cdot 9a^2b^2 = \frac{18}{3}xa^2b^2 = 6xa^2b^2$
$b^3 = (3ab)^3 = 27a^3b^3$
Подставив эти значения в формулу, получаем: $(\frac{2}{3}x)^3 + (\frac{2}{3}x)^2(3ab) + (\frac{2}{3}x)(3ab)^2 + (3ab)^3 = \frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3$.
Это в точности совпадает со вторым множителем в исходном выражении.Следовательно, мы можем применить формулу разности четвертых степеней:
$(\frac{2}{3}x - 3ab) \cdot (\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3) = (\frac{2}{3}x)^4 - (3ab)^4 = \frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4$.
Ответ: $\frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4$