Номер 6.23, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.23. Решите уравнения и разложите на множители соответствующий квадратный трехчлен:

1) $2x^2 + 5x - 7 = 0;$

2) $4x^2 - x - 14 = 0;$

3) $3x^2 - 8x + 5 = 0;$

4) $7x^2 + x - 8 = 0.$

1) $2x^2 + 5x - 7 = 0$

Сначала решим уравнение. Коэффициенты уравнения: $a=2, b=5, c=-7$.

Заметим, что сумма коэффициентов $a+b+c = 2+5+(-7) = 0$. В этом случае, корнями уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{-7}{2}$

Теперь разложим соответствующий квадратный трехчлен $2x^2 + 5x - 7$ на множители, используя формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2 + 5x - 7 = 2(x-1)(x-(-\frac{7}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{7}{2})$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 2 во вторую скобку: $2(x-1)(x+\frac{7}{2}) = (x-1)(2x+7)$.

Ответ: корни уравнения: $1$ и $-\frac{7}{2}$; разложение на множители: $2x^2 + 5x - 7 = (x-1)(2x+7)$.

2) $4x^2 - x - 14 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=4, b=-1, c=-14$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$.

Теперь разложим трехчлен $4x^2 - x - 14$ на множители:

$4x^2 - x - 14 = 4(x-2)(x-(-\frac{7}{4})) = 4(x-2)(x+\frac{7}{4})$.

Внесем множитель 4 во вторую скобку: $4(x-2)(x+\frac{7}{4}) = (x-2)(4x+7)$.

Ответ: корни уравнения: $2$ и $-\frac{7}{4}$; разложение на множители: $4x^2 - x - 14 = (x-2)(4x+7)$.

3) $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Сначала решим уравнение. Коэффициенты: $a=3, b=-8, c=5$.

Сумма коэффициентов $a+b+c = 3+(-8)+5 = 0$. Следовательно, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{5}{3}$

Теперь разложим трехчлен $3x^2 - 8x + 5$ на множители:

$3x^2 - 8x + 5 = 3(x-1)(x-\frac{5}{3})$.

Внесем множитель 3 во вторую скобку: $3(x-1)(x-\frac{5}{3}) = (x-1)(3x-5)$.

Ответ: корни уравнения: $1$ и $\frac{5}{3}$; разложение на множители: $3x^2 - 8x + 5 = (x-1)(3x-5)$.

4) $7x^2 + x - 8 = 0$

Решим уравнение. Коэффициенты: $a=7, b=1, c=-8$.

Сумма коэффициентов $a+b+c = 7+1+(-8) = 0$. Следовательно, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{c}{a}$.

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{-8}{7}$

Теперь разложим трехчлен $7x^2 + x - 8$ на множители:

$7x^2 + x - 8 = 7(x-1)(x-(-\frac{8}{7})) = 7(x-1)(x+\frac{8}{7})$.

Внесем множитель 7 во вторую скобку: $7(x-1)(x+\frac{8}{7}) = (x-1)(7x+8)$.

Ответ: корни уравнения: $1$ и $-\frac{8}{7}$; разложение на множители: $7x^2 + x - 8 = (x-1)(7x+8)$.