Номер 6.30, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.30. Составьте квадратное уравнение по заданным корням:

1) $x_1 = -3, x_2 = 5;$

2) $x_1 = x_2 = 7;$

3) $x_1 = 3a+1, x_2 = 5a-2;$

4) $x_1 = 6 - \sqrt{5}, x_2 = 6 + \sqrt{5};$

5) $x_1 = \sqrt{7} - \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{7} + \sqrt{6};$

6) $x_1 = -2 - \sqrt{3}, x_2 = -2 + \sqrt{3}.$

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется формула, основанная на теореме Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения, то его можно записать в виде $(x-x_1)(x-x_2)=0$. Раскрыв скобки, получаем приведенное квадратное уравнение: $x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1 x_2 = 0$, или $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$.

Таким образом, для каждого случая мы находим сумму корней $(x_1 + x_2)$ и произведение корней $(x_1 x_2)$, а затем подставляем их в эту формулу.

1) Даны корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2$.

Найдем их произведение: $x_1 x_2 = (-3) \cdot 5 = -15$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$.

Получим уравнение: $x^2 - (2)x + (-15) = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

2) Даны корни $x_1 = x_2 = 7$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = 7 + 7 = 14$.

Найдем их произведение: $x_1 x_2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (14)x + 49 = 0$.

Это уравнение также можно получить из выражения $(x-7)^2 = 0$.

Ответ: $x^2 - 14x + 49 = 0$.

3) Даны корни $x_1 = 3a + 1$ и $x_2 = 5a - 2$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (3a + 1) + (5a - 2) = 8a - 1$.

Найдем их произведение: $x_1 x_2 = (3a + 1)(5a - 2) = 15a^2 - 6a + 5a - 2 = 15a^2 - a - 2$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (8a - 1)x + (15a^2 - a - 2) = 0$.

Ответ: $x^2 - (8a - 1)x + 15a^2 - a - 2 = 0$.

4) Даны корни $x_1 = 6 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 6 + \sqrt{5}$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (6 - \sqrt{5}) + (6 + \sqrt{5}) = 12$.

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $x_1 x_2 = (6 - \sqrt{5})(6 + \sqrt{5}) = 6^2 - (\sqrt{5})^2 = 36 - 5 = 31$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (12)x + 31 = 0$.

Ответ: $x^2 - 12x + 31 = 0$.

5) Даны корни $x_1 = \sqrt{7} - \sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{7} + \sqrt{6}$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (\sqrt{7} - \sqrt{6}) + (\sqrt{7} + \sqrt{6}) = 2\sqrt{7}$.

Найдем их произведение по формуле разности квадратов: $x_1 x_2 = (\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (2\sqrt{7})x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2\sqrt{7}x + 1 = 0$.

6) Даны корни $x_1 = -2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3}$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (-2 - \sqrt{3}) + (-2 + \sqrt{3}) = -4$.

Найдем их произведение по формуле разности квадратов: $x_1 x_2 = (-2 - \sqrt{3})(-2 + \sqrt{3}) = (-2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (-4)x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 + 4x + 1 = 0$.