Страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.26. Покажите, что числа $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, если $a - b + c = 0$.

Чтобы доказать, что числа $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{c}{a}$ являются корнями уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ при условии $a - b + c = 0$, мы должны подставить каждое из этих чисел в уравнение и, используя данное условие, показать, что уравнение обращается в верное равенство.

Доказательство для корня $x_1 = -1$

Подставим значение $x_1 = -1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$a(x_1)^2 + b(x_1) + c = a(-1)^2 + b(-1) + c = a \cdot 1 - b + c = a - b + c$.

Согласно условию задачи, выражение $a - b + c$ равно нулю. Таким образом, мы получаем:

$a - b + c = 0$.

Это соответствует правой части уравнения ($0$), следовательно, равенство $0 = 0$ выполняется. Это доказывает, что $x_1 = -1$ является корнем уравнения.

Доказательство для корня $x_2 = -\frac{c}{a}$

Теперь подставим значение $x_2 = -\frac{c}{a}$ в левую часть уравнения. Заметим, что это возможно при $a \neq 0$, что является необходимым условием для того, чтобы уравнение было квадратным.

$a(x_2)^2 + b(x_2) + c = a\left(-\frac{c}{a}\right)^2 + b\left(-\frac{c}{a}\right) + c$.

Упростим полученное выражение шаг за шагом:

$a\left(\frac{c^2}{a^2}\right) - \frac{bc}{a} + c = \frac{ac^2}{a^2} - \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} - \frac{bc}{a} + c$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$:

$\frac{c^2}{a} - \frac{bc}{a} + \frac{ac}{a} = \frac{c^2 - bc + ac}{a}$.

Вынесем в числителе общий множитель $c$ за скобки:

$\frac{c(c - b + a)}{a}$.

Снова воспользуемся условием $a - b + c = 0$. Выражение в скобках равно нулю. Подставим это значение:

$\frac{c \cdot 0}{a} = 0$.

Мы снова получили верное равенство $0 = 0$. Это доказывает, что $x_2 = -\frac{c}{a}$ также является корнем уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. При выполнении условия $a - b + c = 0$ прямая подстановка чисел $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{c}{a}$ в уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ обращает его в верное равенство $0=0$, что подтверждает, что данные числа являются его корнями.

6.27. При каких значениях $a$ уравнение $(x^2 - a)(x^2 + 3ax + a)=0$ имеет ровно 2 корня?

Исходное уравнение $(x^2 - a)(x^2 + 3ax + a) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - a = 0$

2) $x^2 + 3ax + a = 0$

Общее количество различных корней исходного уравнения равно количеству различных корней в объединении множеств корней этих двух уравнений. Нам необходимо найти все значения параметра $a$, при которых это количество равно двум.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Анализ уравнения (1): $x^2 - a = 0$

Это уравнение можно переписать как $x^2 = a$.

• Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• Если $a = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 0$.
• Если $a > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.

Анализ уравнения (2): $x^2 + 3ax + a = 0$

Это квадратное уравнение. Количество его корней зависит от знака дискриминанта $D_2$.

$D_2 = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9a^2 - 4a = a(9a - 4)$.

• Если $D_2 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Неравенство $a(9a - 4) < 0$ выполняется при $0 < a < 4/9$.
• Если $D_2 = 0$, уравнение имеет один корень. Это происходит при $a = 0$ или $a = 4/9$.
  • При $a = 0$ уравнение принимает вид $x^2 = 0$, корень $x = 0$.
  • При $a = 4/9$ уравнение принимает вид $x^2 + 3(\frac{4}{9})x + \frac{4}{9} = 0 \implies x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = 0 \implies (x + \frac{2}{3})^2 = 0$, корень $x = -2/3$.
• Если $D_2 > 0$, уравнение имеет два различных корня. Неравенство $a(9a - 4) > 0$ выполняется при $a < 0$ или $a > 4/9$.

Теперь рассмотрим все возможные случаи, чтобы общее количество различных корней было равно двум.

Случай 1: $a < 0$

Уравнение (1), $x^2=a$, не имеет корней.

Для уравнения (2), $x^2+3ax+a=0$, дискриминант $D_2 = a(9a-4)$. Так как $a<0$ и $(9a-4)<0$, то $D_2>0$. Следовательно, уравнение (2) имеет два различных корня.

В итоге, совокупность уравнений имеет $0 + 2 = 2$ корня. Таким образом, все значения $a < 0$ являются решением.

Случай 2: $a = 0$

Уравнение (1), $x^2=0$, имеет один корень: $x=0$.

Уравнение (2), $x^2=0$, имеет один корень: $x=0$.

Объединение корней дает один-единственный корень $x=0$. Этот случай не подходит, так как нам нужно ровно 2 корня.

Случай 3: $0 < a < 4/9$

Уравнение (1), $x^2=a$, имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{a}$.

Для уравнения (2), $x^2+3ax+a=0$, дискриминант $D_2 = a(9a-4)$. Так как $a>0$ и $(9a-4)<0$, то $D_2<0$. Уравнение (2) не имеет действительных корней.

В итоге, совокупность уравнений имеет $2 + 0 = 2$ корня. Таким образом, все значения $a \in (0, 4/9)$ являются решением.

Случай 4: $a = 4/9$

Уравнение (1), $x^2=4/9$, имеет два различных корня: $x = \pm 2/3$.

Уравнение (2), $x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = 0$, имеет один корень (так как $D_2=0$): $x = -2/3$.

Множество корней первого уравнения: $\{2/3, -2/3\}$. Множество корней второго уравнения: $\{-2/3\}$.

Объединение этих множеств: $\{2/3, -2/3\}$, которое содержит ровно 2 различных элемента. Таким образом, $a=4/9$ является решением.

Случай 5: $a > 4/9$

Уравнение (1), $x^2=a$, имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{a}$.

Для уравнения (2), $x^2+3ax+a=0$, дискриминант $D_2 = a(9a-4)$. Так как $a>4/9$, то $a>0$ и $(9a-4)>0$, следовательно $D_2>0$. Уравнение (2) также имеет два различных корня.

В этом случае общее число корней может быть 2, 3 или 4. Это зависит от того, есть ли совпадающие корни между уравнениями. Проверим, могут ли корни уравнения (1) быть корнями уравнения (2).

Подставим $x=\sqrt{a}$ в уравнение (2): $(\sqrt{a})^2 + 3a(\sqrt{a}) + a = a + 3a\sqrt{a} + a = 2a + 3a\sqrt{a} = a(2+3\sqrt{a})$. Так как $a > 4/9 > 0$, то $a(2+3\sqrt{a}) > 0$. Следовательно, $x=\sqrt{a}$ не является корнем второго уравнения.

Подставим $x=-\sqrt{a}$ в уравнение (2): $(-\sqrt{a})^2 + 3a(-\sqrt{a}) + a = a - 3a\sqrt{a} + a = 2a - 3a\sqrt{a} = a(2-3\sqrt{a})$. Так как $a > 4/9$, то $\sqrt{a} > \sqrt{4/9} = 2/3$, откуда $3\sqrt{a} > 2$ и $2-3\sqrt{a} < 0$. Значит, $a(2-3\sqrt{a}) \neq 0$. Следовательно, $x=-\sqrt{a}$ также не является корнем второго уравнения.

Поскольку корни уравнений (1) и (2) не совпадают, общее число различных корней равно $2+2=4$. Этот случай не подходит.

Итог

Объединяя все найденные решения из рассмотренных случаев, получаем, что исходное уравнение имеет ровно два корня при $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 4/9) \cup \{4/9\}$.

Это можно записать в виде $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 4/9]$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 4/9]$.

6.28. При каких значениях $a$ уравнение $(x^2-3x-4)(x^2-a)=0$ имеет ровно 3 корня?

Исходное уравнение $(x^2-3x-4)(x^2-a)=0$ эквивалентно совокупности двух уравнений, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x^2-3x-4=0$

2) $x^2-a=0$

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 3 различных корня, необходимо, чтобы совокупность этих двух уравнений имела ровно 3 различных решения.

Решим первое уравнение: $x^2-3x-4=0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1$.

Таким образом, первое уравнение всегда дает два различных корня: $x=4$ и $x=-1$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2-a=0$, что равносильно $x^2=a$.

Количество корней этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Чтобы в сумме получилось 3 корня, рассмотрим следующие случаи.

Случай 1: Уравнение $x^2=a$ имеет один корень, который не совпадает с корнями первого уравнения.

Это возможно, если $a=0$. Тогда уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$. Корни первого уравнения — $4$ и $-1$. Так как $0 \ne 4$ и $0 \ne -1$, то общее число различных корней будет $2 + 1 = 3$. Следовательно, значение $a=0$ нам подходит.

Случай 2: Уравнение $x^2=a$ имеет два корня, один из которых совпадает с одним из корней первого уравнения.

Это возможно, если $a > 0$. Тогда уравнение $x^2=a$ имеет два различных корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$. Чтобы общее число корней было равно трем, один из этих корней должен совпадать с $4$ или $-1$.

- Пусть один из корней второго уравнения совпадает с $x_1=4$.

$\sqrt{a} = 4 \Rightarrow a = 16$. При $a=16$ второе уравнение имеет корни $x=\pm 4$. Множество всех корней исходного уравнения: $\{-1, 4\} \cup \{-4, 4\} = \{-4, -1, 4\}$. В этом множестве ровно 3 элемента. Значение $a=16$ нам подходит.

$-\sqrt{a} = 4$ — это уравнение не имеет решений, так как $\sqrt{a} \ge 0$.

- Пусть один из корней второго уравнения совпадает с $x_2=-1$.

$-\sqrt{a} = -1 \Rightarrow \sqrt{a}=1 \Rightarrow a=1$. При $a=1$ второе уравнение имеет корни $x=\pm 1$. Множество всех корней исходного уравнения: $\{-1, 4\} \cup \{-1, 1\} = \{-1, 1, 4\}$. В этом множестве ровно 3 элемента. Значение $a=1$ нам подходит.

$\sqrt{a} = -1$ — это уравнение не имеет решений.

Если $a<0$, то второе уравнение не имеет действительных корней, и общее число корней будет равно 2, что не удовлетворяет условию.

Следовательно, уравнение имеет ровно 3 корня при трех значениях параметра $a$.

Ответ: $0; 1; 16$.

6.29. Не решая уравнения $3x^2-x-1=0$, найдите для его корней $x_1$ и $x_2$ значение выражения:

1) $x_1+x_2;$

2) $x_1x_2;$

3) $x_1^2+x_2^2;$

4) $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2;$

5) $x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3;$

6) $x_1x_2^4+x_1^4x_2;$

7) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}.$

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1+x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1x_2 = c/a$.

В заданном уравнении $3x^2-x-1=0$ коэффициенты равны $a=3$, $b=-1$, $c=-1$.
Следовательно, сумма и произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равны:
$x_1+x_2 = - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$
$x_1x_2 = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$
Используя эти два значения, найдем значения требуемых выражений.

1) $x_1+x_2$;
Это значение напрямую следует из теоремы Виета.
$x_1+x_2 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) $x_1x_2$;
Это значение также напрямую следует из теоремы Виета.
$x_1x_2 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

3) $x_1^2+x_2^2$;
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат суммы: $x_1^2+x_2^2 = x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставим ранее найденные значения суммы и произведения корней:
$(\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

4) $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$;
Данное выражение представляет собой формулу квадрата суммы: $(x_1+x_2)^2$.
Подставим значение суммы корней:
$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

5) $x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3$;
Данное выражение представляет собой формулу куба суммы: $(x_1+x_2)^3$.
Подставим значение суммы корней:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$.

6) $x_1x_2^4+x_1^4x_2$;
Вынесем общий множитель $x_1x_2$ за скобки: $x_1x_2(x_2^3+x_1^3)$.
Сначала найдем значение суммы кубов $x_1^3+x_2^3$. Используем тождество: $x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$.
Подставим известные значения:
$x_1^3+x_2^3 = (\frac{1}{3})^3 - 3(-\frac{1}{3})(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3} = \frac{1}{27} + \frac{9}{27} = \frac{10}{27}$.
Теперь вычислим исходное выражение:
$x_1x_2(x_1^3+x_2^3) = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{10}{27} = -\frac{10}{81}$.
Ответ: $-\frac{10}{81}$.

7) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x_1x_2$: $\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$.
Мы уже вычислили значение числителя в пункте 3): $x_1^2+x_2^2 = \frac{7}{9}$.
Знаменатель равен произведению корней: $x_1x_2 = -\frac{1}{3}$.
Подставим значения в выражение:
$\frac{\frac{7}{9}}{-\frac{1}{3}} = \frac{7}{9} \cdot (-\frac{3}{1}) = -\frac{21}{9} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $-\frac{7}{3}$.

6.30. Составьте квадратное уравнение по заданным корням:

1) $x_1 = -3, x_2 = 5;$

2) $x_1 = x_2 = 7;$

3) $x_1 = 3a+1, x_2 = 5a-2;$

4) $x_1 = 6 - \sqrt{5}, x_2 = 6 + \sqrt{5};$

5) $x_1 = \sqrt{7} - \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{7} + \sqrt{6};$

6) $x_1 = -2 - \sqrt{3}, x_2 = -2 + \sqrt{3}.$

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется формула, основанная на теореме Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения, то его можно записать в виде $(x-x_1)(x-x_2)=0$. Раскрыв скобки, получаем приведенное квадратное уравнение: $x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1 x_2 = 0$, или $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$.

Таким образом, для каждого случая мы находим сумму корней $(x_1 + x_2)$ и произведение корней $(x_1 x_2)$, а затем подставляем их в эту формулу.

1) Даны корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2$.

Найдем их произведение: $x_1 x_2 = (-3) \cdot 5 = -15$.

Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$.

Получим уравнение: $x^2 - (2)x + (-15) = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

2) Даны корни $x_1 = x_2 = 7$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = 7 + 7 = 14$.

Найдем их произведение: $x_1 x_2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (14)x + 49 = 0$.

Это уравнение также можно получить из выражения $(x-7)^2 = 0$.

Ответ: $x^2 - 14x + 49 = 0$.

3) Даны корни $x_1 = 3a + 1$ и $x_2 = 5a - 2$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (3a + 1) + (5a - 2) = 8a - 1$.

Найдем их произведение: $x_1 x_2 = (3a + 1)(5a - 2) = 15a^2 - 6a + 5a - 2 = 15a^2 - a - 2$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (8a - 1)x + (15a^2 - a - 2) = 0$.

Ответ: $x^2 - (8a - 1)x + 15a^2 - a - 2 = 0$.

4) Даны корни $x_1 = 6 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 6 + \sqrt{5}$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (6 - \sqrt{5}) + (6 + \sqrt{5}) = 12$.

Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $x_1 x_2 = (6 - \sqrt{5})(6 + \sqrt{5}) = 6^2 - (\sqrt{5})^2 = 36 - 5 = 31$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (12)x + 31 = 0$.

Ответ: $x^2 - 12x + 31 = 0$.

5) Даны корни $x_1 = \sqrt{7} - \sqrt{6}$ и $x_2 = \sqrt{7} + \sqrt{6}$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (\sqrt{7} - \sqrt{6}) + (\sqrt{7} + \sqrt{6}) = 2\sqrt{7}$.

Найдем их произведение по формуле разности квадратов: $x_1 x_2 = (\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (2\sqrt{7})x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2\sqrt{7}x + 1 = 0$.

6) Даны корни $x_1 = -2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3}$.

Найдем их сумму: $x_1 + x_2 = (-2 - \sqrt{3}) + (-2 + \sqrt{3}) = -4$.

Найдем их произведение по формуле разности квадратов: $x_1 x_2 = (-2 - \sqrt{3})(-2 + \sqrt{3}) = (-2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Подставим значения в формулу: $x^2 - (-4)x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 + 4x + 1 = 0$.

6.31. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ xy = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 3y = 7, \\ xy = -2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ xy(x + y) = 30. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 6. \end{cases}$

Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим в это уравнение известные значения из системы: $x+y=7$ и $xy=6$. Получим уравнение: $t^2 - 7t + 6 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$. Это можно найти, например, разложив на множители: $(t-1)(t-6)=0$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(x, y)$, где $x$ и $y$ принимают значения $1$ и $6$. Это пары $(1, 6)$ и $(6, 1)$.

Ответ: $(1, 6), (6, 1)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x + 2y = 7, \\ xy = 3. \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 7 - 2y$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $(7 - 2y)y = 3$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $7y - 2y^2 = 3$, что равносильно $2y^2 - 7y + 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения для $y$: $y_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = 7 - 2y$.

Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 7 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$.

Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$.

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(6, \frac{1}{2}), (1, 3)$.

3)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x - 3y = 7, \\ xy = -2. \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 7 + 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(7 + 3y)y = -2$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $7y + 3y^2 = -2$, или $3y^2 + 7y + 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$ и $y_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ по формуле $x = 7 + 3y$.

Если $y_1 = -2$, то $x_1 = 7 + 3(-2) = 7 - 6 = 1$.

Если $y_2 = -\frac{1}{3}$, то $x_2 = 7 + 3(-\frac{1}{3}) = 7 - 1 = 6$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(1, -2), (6, -\frac{1}{3})$.

4)

Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ xy(x+y) = 30. \end{cases}$

Эта система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Для ее решения введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.

В новых переменных система примет вид: $\begin{cases} u + v = 11, \\ uv = 30. \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$, то есть $t^2 - 11t + 30 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1=5$ и $t_2=6$. Это означает, что возможны два случая для значений $u$ и $v$:

1. $u = 5$ и $v = 6$.

2. $u = 6$ и $v = 5$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, выполнив обратную замену.

Случай 1: $x+y=5$ и $xy=6$.

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$. Корни этого уравнения $z_1=2$ и $z_2=3$. Таким образом, получаем две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $x+y=6$ и $xy=5$.

Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$. Корни этого уравнения $z_1=1$ и $z_2=5$. Таким образом, получаем еще две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходной системы.

Ответ: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.

6.32. Разделите многочлен на многочлен с остатком:

1) $x^4+x^2+1$ на $x+5$;

2) $x^7-1$ на $x^3+x+1$;

3) $x^6-64$ на $x-3$.

1) Чтобы разделить многочлен $x^4+x^2+1$ на многочлен $x+5$ с остатком, воспользуемся методом деления в столбик. Для удобства запишем делимое $x^4+x^2+1$ в стандартном виде, добавляя члены с нулевыми коэффициентами: $x^4+0x^3+x^2+0x+1$.

Процесс деления показан ниже:

В результате деления получаем неполное частное $x^3-5x^2+26x-130$ и остаток $651$.

Ответ: $x^4+x^2+1 = (x+5)(x^3-5x^2+26x-130) + 651$.

2) Разделим многочлен $x^7-1$ на $x^3+x+1$. Запишем делимое и делитель в стандартном виде: $x^7+0x^6+0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x-1$ и $x^3+0x^2+x+1$.

Выполним деление в столбик:

Частное равно $x^4-x^2-x+1$, остаток равен $2x^2-2$.

Ответ: $x^7-1 = (x^3+x+1)(x^4-x^2-x+1) + 2x^2-2$.

3) Разделим многочлен $x^6-64$ на $x-3$. Дополним делимое недостающими степенями: $x^6+0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x-64$.

Выполним деление в столбик:

Частное равно $x^5+3x^4+9x^3+27x^2+81x+243$, остаток равен $665$.

Заметим, что остаток можно было найти проще по теореме Безу. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению этого многочлена в точке $c$. В данном случае $P(x)=x^6-64$ и $c=3$. Остаток равен $P(3)=3^6-64=729-64=665$.

Ответ: $x^6-64 = (x-3)(x^5+3x^4+9x^3+27x^2+81x+243) + 665$.

6.33. При каких значениях $a$ делится без остатка:

$(x^3+6x^2+ax+12):(x+4)?$

Для того чтобы многочлен $P(x) = x^3 + 6x^2 + ax + 12$ делился на двучлен $(x+4)$ без остатка, согласно теореме Безу, необходимо и достаточно, чтобы корень двучлена был также корнем многочлена.

Найдем корень двучлена $(x+4)$:
$x + 4 = 0$
$x = -4$

Теперь подставим это значение $x = -4$ в многочлен $P(x)$ и приравняем его к нулю, так как остаток от деления должен быть равен нулю:
$P(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + a(-4) + 12 = 0$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$-64 + 6 \cdot 16 - 4a + 12 = 0$
$-64 + 96 - 4a + 12 = 0$
$(96 - 64) + 12 - 4a = 0$
$32 + 12 - 4a = 0$
$44 - 4a = 0$
$4a = 44$
$a = \frac{44}{4}$
$a = 11$

Следовательно, при $a=11$ многочлен $(x^3+6x^2+ax+12)$ делится на $(x+4)$ без остатка.

Ответ: $11$.

6.34. Докажите, что при делении многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ в остатке получится $f(a)$.

Данное утверждение известно как теорема Безу (или теорема об остатке). Для его доказательства воспользуемся определением деления многочлена с остатком.

При делении любого многочлена $f(x)$ (делимое) на ненулевой многочлен-делитель $d(x)$ существуют единственные многочлены $q(x)$ (частное) и $r(x)$ (остаток), такие, что выполняется равенство: $f(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)$

При этом степень многочлена-остатка $r(x)$ всегда строго меньше степени многочлена-делителя $d(x)$.

В рассматриваемой задаче мы делим многочлен $f(x)$ на двучлен (бином) $x-a$. Делитель $d(x) = x-a$ является многочленом первой степени, так как наивысшая степень переменной $x$ равна 1.

Согласно свойству деления многочленов, степень остатка $r(x)$ должна быть строго меньше степени делителя $d(x) = x-a$. Поскольку степень $d(x)$ равна 1, степень остатка $r(x)$ должна быть меньше 1, то есть быть равной 0. Многочлен нулевой степени является константой (числом). Обозначим этот остаток буквой $R$.

Таким образом, равенство для деления многочлена $f(x)$ на $x-a$ принимает вид: $f(x) = (x-a) \cdot q(x) + R$ где $q(x)$ — это частное от деления, а $R$ — остаток, который является некоторым числом.

Это равенство является тождеством, то есть оно справедливо для любого значения переменной $x$. Чтобы найти $R$, мы можем подставить в это тождество такое значение $x$, которое упростит выражение. Наиболее удобным значением является $x=a$, так как при этом множитель $(x-a)$ обратится в ноль.

Подставим $x=a$ в тождество: $f(a) = (a-a) \cdot q(a) + R$

Выполним вычисления в правой части равенства: $f(a) = 0 \cdot q(a) + R$ $f(a) = 0 + R$ $f(a) = R$

Мы получили, что остаток $R$ от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ в точности равен значению этого многочлена в точке $x=a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $x-a$ равен $f(a)$.

6.35. Если $\alpha$ является целым корнем многочлена $f(x)=x^n + a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$, где $a_1, a_2, ..., a_n$ - целые числа, то $a_n$ делится на $\alpha$ без остатка. Докажите.

Это утверждение известно как следствие из теоремы о рациональных корнях многочлена. Докажем его.

Пусть дан многочлен $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$, где все коэффициенты $a_1, a_2, \dots, a_n$ являются целыми числами.

Пусть $\alpha$ — целый корень этого многочлена. По определению корня, это означает, что при подстановке значения $\alpha$ вместо $x$ многочлен обращается в ноль:

$f(\alpha) = 0$

Запишем это равенство в развернутом виде:

$\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + a_2\alpha^{n-2} + \dots + a_{n-1}\alpha + a_n = 0$

Наша цель — доказать, что $a_n$ делится на $\alpha$. Для этого выразим $a_n$ из полученного уравнения. Перенесем все слагаемые, кроме $a_n$, в правую часть равенства, изменив их знак:

$a_n = -\alpha^n - a_1\alpha^{n-1} - a_2\alpha^{n-2} - \dots - a_{n-1}\alpha$

Заметим, что каждый член в правой части выражения содержит множитель $\alpha$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$a_n = \alpha \cdot (-\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - a_2\alpha^{n-3} - \dots - a_{n-1})$

Теперь проанализируем выражение в скобках. Обозначим его через $K$:

$K = -\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - a_2\alpha^{n-3} - \dots - a_{n-1}$

По условию, $\alpha$ — целое число. Следовательно, любая его натуральная степень ($\alpha^k$) также является целым числом. Коэффициенты $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ по условию тоже целые. Произведение целых чисел (например, $a_1\alpha^{n-2}$) есть целое число. Сумма (и разность) целых чисел также является целым числом. Таким образом, $K$ является целым числом.

Мы получили, что $a_n = \alpha \cdot K$, где $K$ — некоторое целое число. По определению делимости, это означает, что число $a_n$ делится нацело на число $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении корня многочлена. Если $\alpha$ — целый корень многочлена $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ с целыми коэффициентами, то $f(\alpha) = 0$. Запишем это равенство: $\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + \dots + a_{n-1}\alpha + a_n = 0$. Перенеся все члены, кроме $a_n$, в правую часть, получим $a_n = -(\alpha^n + a_1\alpha^{n-1} + \dots + a_{n-1}\alpha)$. Вынесем $\alpha$ за скобки: $a_n = \alpha \cdot (-\alpha^{n-1} - a_1\alpha^{n-2} - \dots - a_{n-1})$. Так как $\alpha$ и все коэффициенты $a_i$ — целые числа, выражение в скобках также является целым числом. Обозначив его $K$, мы получаем $a_n = \alpha \cdot K$, где $K$ — целое. Это по определению означает, что $a_n$ делится на $\alpha$ без остатка.