Страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.41. Решите уравнения:

1) $x^4-5x^2+4=0$

2) $7x^4-x^2-6=0$

3) $3x^4-5x^2+2=0$

4) $(5x^2+x-1)^2 - (5x^2+x-1)-2=0$

5) $(3x^2-x-1)^2-18x^2+6x-1=0$

6) $(x+\frac{1}{x})^2 - 5(x+\frac{1}{x})+6=0$

7) $x^2+5x+8+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

8) $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$

9) $10x^4-29x^3+30x^2-29x+10=0$

10) $\frac{2x^2-5x+4}{3x-2} + \frac{15x-10}{2x^2-5x+4} = 0$

11) $\frac{x^2+5x-1}{2x-1} + \frac{2x-1}{x^2+5x-1} = 5,2$.

1)

Дано уравнение $x^4-5x^2+4=0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение: $y^2 - 5y + 4 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Оба значения $y$ неотрицательны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

2. $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

2)

Дано уравнение $7x^4-x^2-6 = 0$.

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид: $7y^2 - y - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(7)(-6) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 13}{14}$.

$y_1 = \frac{1+13}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$y_2 = \frac{1-13}{14} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1=1$. Корень $y_2 = -6/7$ является посторонним.

Выполним обратную замену: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Ответ: $x \in \{-1, 1\}$.

3)

Дано уравнение $3x^4-5x^2+2 = 0$.

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $3y^2 - 5y + 2 = 0$.

Сумма коэффициентов $3 - 5 + 2 = 0$, следовательно, один из корней равен 1. $y_1 = 1$.

Второй корень по теореме Виета равен $y_2 = c/a = 2/3$.

Оба корня неотрицательны. Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

2. $x^2 = 2/3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2/3} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $x \in \{-1, 1, -\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\}$.

4)

Дано уравнение $(5x^2+x-1)^2 - (5x^2+x-1) - 2 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $y = 5x^2+x-1$.

Уравнение примет вид: $y^2 - y - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$.

1. $5x^2+x-1 = 2 \Rightarrow 5x^2+x-3=0$.

$D = 1^2 - 4(5)(-3) = 1+60 = 61$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$.

2. $5x^2+x-1 = -1 \Rightarrow 5x^2+x=0 \Rightarrow x(5x+1)=0$.

Отсюда $x=0$ или $5x+1=0 \Rightarrow x = -1/5$.

Ответ: $x \in \{0, -1/5, \frac{-1 - \sqrt{61}}{10}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{10}\}$.

5)

Дано уравнение $(3x^2-x-1)^2-18x^2+6x-1 = 0$.

Преобразуем последние три члена: $-18x^2+6x-1 = -6(3x^2-x)-1$.

Уравнение можно переписать в виде: $(3x^2-x-1)^2 - 6(3x^2-x) - 1 = 0$.

Введем замену $y = 3x^2-x$. Уравнение примет вид $(y-1)^2 - 6y - 1 = 0$.

Раскроем скобки: $y^2-2y+1-6y-1=0 \Rightarrow y^2-8y=0 \Rightarrow y(y-8)=0$.

Отсюда $y=0$ или $y=8$.

Выполним обратную замену.

1. $3x^2-x = 0 \Rightarrow x(3x-1)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=1/3$.

2. $3x^2-x = 8 \Rightarrow 3x^2-x-8=0$.

$D = (-1)^2 - 4(3)(-8) = 1+96 = 97$.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{6}$.

Ответ: $x \in \{0, 1/3, \frac{1 - \sqrt{97}}{6}, \frac{1 + \sqrt{97}}{6}\}$.

6)

Дано уравнение $(\text{x} + \frac{1}{x})^2 - 5(x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$.

Уравнение примет вид: $y^2 - 5y + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни $y_1=2$ и $y_2=3$.

Выполним обратную замену.

1. $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2+1=2x \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1$.

2. $x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2+1=3x \Rightarrow x^2-3x+1=0$.

$D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9-4=5$.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{1, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\}$.

7)

Дано уравнение $x^2 + 5x + 8 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$.

ОДЗ: $x \ne 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (5x + \frac{5}{x}) + 8 = 0 \Rightarrow (x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение: $(y^2 - 2) + 5y + 8 = 0 \Rightarrow y^2 + 5y + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни $y_1=-2$ и $y_2=-3$.

Выполним обратную замену.

1. $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2+1=-2x \Rightarrow x^2+2x+1=0 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1$.

2. $x + \frac{1}{x} = -3 \Rightarrow x^2+1=-3x \Rightarrow x^2+3x+1=0$.

$D = 3^2 - 4(1)(1) = 9-4=5$.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{-1, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\}$.

8)

Дано уравнение $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$.

Это симметрическое (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2+\frac{1}{x^2}) - 5(x+\frac{1}{x}) + 8 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.

Уравнение примет вид: $(y^2-2) - 5y + 8 = 0 \Rightarrow y^2 - 5y + 6 = 0$.

Корни этого уравнения $y_1=2$ и $y_2=3$.

Выполним обратную замену.

1. $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1$.

2. $x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2-3x+1=0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $x \in \{1, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\}$.

9)

Дано уравнение $10x^4-29x^3+30x^2-29x+10=0$.

Это симметрическое уравнение. Так как $x=0$ не является корнем, разделим на $x^2$:

$10x^2-29x+30-\frac{29}{x}+\frac{10}{x^2} = 0$.

Сгруппируем: $10(x^2+\frac{1}{x^2}) - 29(x+\frac{1}{x}) + 30 = 0$.

Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$.

$10(y^2-2) - 29y + 30 = 0 \Rightarrow 10y^2-20-29y+30=0 \Rightarrow 10y^2-29y+10=0$.

$D_y = (-29)^2 - 4(10)(10) = 841-400=441=21^2$.

$y = \frac{29 \pm 21}{20}$. Корни $y_1 = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$ и $y_2 = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Выполним обратную замену.

1. $x+\frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2x^2+2=5x \Rightarrow 2x^2-5x+2=0$.

$D_x = 25 - 16 = 9 = 3^2$. $x=\frac{5 \pm 3}{4}$. Корни $x_1=2, x_2=1/2$.

2. $x+\frac{1}{x} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5x^2+5=2x \Rightarrow 5x^2-2x+5=0$.

$D_x = 4 - 4(5)(5) = 4-100 = -96 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x \in \{1/2, 2\}$.

10)

Дано уравнение $\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} + \frac{15x - 10}{2x^2 - 5x + 4} = 0$.

ОДЗ: $3x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2/3$. Также $2x^2-5x+4 \ne 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-5)^2 - 4(2)(4) = 25-32 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2x^2-5x+4 > 0$ для всех $x$.

Заметим, что $15x-10 = 5(3x-2)$.

Введем замену $y = \frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2}$. Уравнение примет вид $y + \frac{5}{y} = 0$.

Домножим на $y$ (так как $y \ne 0$): $y^2 + 5 = 0 \Rightarrow y^2 = -5$.

Это уравнение не имеет действительных решений для $y$, следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Другой способ: приведем к общему знаменателю.

$\frac{(2x^2 - 5x + 4)^2 + 5(3x - 2)^2}{(3x - 2)(2x^2 - 5x + 4)} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Числитель представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(2x^2 - 5x + 4)^2 \ge 0$ и $5(3x-2)^2 \ge 0$. Сумма равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю. Однако, как мы показали, $2x^2-5x+4$ никогда не равно нулю. Значит, числитель всегда строго положителен.

Ответ: корней нет.

11)

Дано уравнение $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x^2 + 5x - 1} = 5,2$.

ОДЗ: $2x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1/2$ и $x^2+5x-1 \ne 0$.

Введем замену $y = \frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1}$.

Уравнение примет вид $y + \frac{1}{y} = 5,2$. Запишем $5,2$ как $\frac{26}{5}$.

$y + \frac{1}{y} = \frac{26}{5}$. Домножим на $5y$: $5y^2 + 5 = 26y \Rightarrow 5y^2 - 26y + 5 = 0$.

$D_y = (-26)^2 - 4(5)(5) = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

$y = \frac{26 \pm 24}{10}$. Корни $y_1 = \frac{50}{10} = 5$ и $y_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену.

1. $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = 5 \Rightarrow x^2+5x-1 = 10x-5 \Rightarrow x^2-5x+4=0$.

По теореме Виета, корни $x_1=1, x_2=4$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = \frac{1}{5} \Rightarrow 5(x^2+5x-1) = 2x-1 \Rightarrow 5x^2+25x-5=2x-1 \Rightarrow 5x^2+23x-4=0$.

$D_x = 23^2 - 4(5)(-4) = 529+80 = 609$.

$x = \frac{-23 \pm \sqrt{609}}{10}$. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in \{1, 4, \frac{-23 - \sqrt{609}}{10}, \frac{-23 + \sqrt{609}}{10}\}$.

6.42. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + 5y = 11, \\ 2x - 3y = 17; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 20x - 15y = 51, \\ 4x - 3y = 10,2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x + 5y = 20, \\ 6x + 10y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 3; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x + 4y = 12, \\ x^2 + y^2 = 5,76; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5x - 12y = 60, \\ x^2 + y^2 = 4; \end{cases}$

7) $\begin{cases} x = 3y, \\ x^2 + 5xy + 7y^2 = 31; \end{cases}$

8) $\begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 47; \end{cases}$

9) $\begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 5. \end{cases}$

1)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 11, \\ 2x - 3y = 17; \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$ \begin{cases} 9x + 15y = 33, \\ 10x - 15y = 85; \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения:

$(9x + 10x) + (15y - 15y) = 33 + 85$

$19x = 118$

$x = \frac{118}{19}$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3 \cdot (\frac{118}{19}) + 5y = 11$

$\frac{354}{19} + 5y = 11$

$5y = 11 - \frac{354}{19}$

$5y = \frac{11 \cdot 19 - 354}{19}$

$5y = \frac{209 - 354}{19}$

$5y = -\frac{145}{19}$

$y = -\frac{145}{19 \cdot 5} = -\frac{29}{19}$

Ответ: $(\frac{118}{19}, -\frac{29}{19})$

2)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 51, \\ 4x - 3y = 10,2; \end{cases} $

Разделим первое уравнение на 5:

$\frac{20x - 15y}{5} = \frac{51}{5}$

$4x - 3y = 10,2$

Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением системы. Это означает, что уравнения линейно зависимы, и система имеет бесконечное множество решений. Все точки, лежащие на прямой $4x - 3y = 10,2$, являются решениями системы.

Выразим $y$ через $x$:

$3y = 4x - 10,2$

$y = \frac{4}{3}x - 3,4$

Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(x, \frac{4}{3}x - 3,4)$, где $x$ – любое действительное число.

3)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 20, \\ 6x + 10y = 7; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2:

$2(3x + 5y) = 2 \cdot 20$

$6x + 10y = 40$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 6x + 10y = 40, \\ 6x + 10y = 7; \end{cases} $

Левые части уравнений одинаковы, а правые различны. Приравнивая их, получаем противоречие: $40 = 7$. Это означает, что система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 3; \end{cases} $

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 3 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(3 - 2y)^2 - 3(3 - 2y)y + 5y^2 = 3$

$(9 - 12y + 4y^2) - (9y - 6y^2) + 5y^2 = 3$

$9 - 12y + 4y^2 - 9y + 6y^2 + 5y^2 = 3$

Приведем подобные члены:

$15y^2 - 21y + 9 = 3$

$15y^2 - 21y + 6 = 0$

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить его:

$5y^2 - 7y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 - 2(1) = 1$.

Если $y_2 = \frac{2}{5}$, то $x_2 = 3 - 2(\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{15 - 4}{5} = \frac{11}{5}$.

Ответ: $(1, 1)$, $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 12, \\ x^2 + y^2 = 5,76; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:

$3x = 12 - 4y \implies x = \frac{12 - 4y}{3} = 4 - \frac{4}{3}y$

Подставим это во второе уравнение:

$(4 - \frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 5,76$

$16 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{4}{3}y + (\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 5,76$

$16 - \frac{32}{3}y + \frac{16}{9}y^2 + y^2 = 5,76$

$(\frac{16}{9} + 1)y^2 - \frac{32}{3}y + 16 - 5,76 = 0$

$\frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + 10,24 = 0$

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $10,24 = \frac{1024}{100} = \frac{256}{25}$.

$\frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + \frac{256}{25} = 0$

Умножим уравнение на $225$ (НОК для 9 и 25):

$25 \cdot 25y^2 - 32 \cdot 75y + 256 \cdot 9 = 0$

$625y^2 - 2400y + 2304 = 0$

Это квадратное уравнение вида $(25y - 48)^2 = 0$, так как $(25y)^2 = 625y^2$, $48^2 = 2304$, и $2 \cdot 25y \cdot 48 = 2400y$.

$25y - 48 = 0 \implies y = \frac{48}{25} = 1,92$

Найдем $x$:

$x = 4 - \frac{4}{3}y = 4 - \frac{4}{3} \cdot \frac{48}{25} = 4 - \frac{4 \cdot 16}{25} = 4 - \frac{64}{25} = \frac{100 - 64}{25} = \frac{36}{25} = 1,44$

Ответ: $(\frac{36}{25}, \frac{48}{25})$ или $(1,44; 1,92)$

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 12y = 60, \\ x^2 + y^2 = 4; \end{cases} $

Второе уравнение — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Первое уравнение — это уравнение прямой. Найдем расстояние $d$ от центра окружности до этой прямой по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Уравнение прямой: $5x - 12y - 60 = 0$. Центр окружности: $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

$d = \frac{|5(0) - 12(0) - 60|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-60|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{60}{\sqrt{169}} = \frac{60}{13}$

Сравним расстояние $d$ с радиусом $r$:

$d = \frac{60}{13} \approx 4,61$

$r = 2$

Так как $d > r$, прямая не пересекает окружность. Следовательно, система не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

7)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 3y, \\ x^2 + 5xy + 7y^2 = 31; \end{cases} $

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(3y)^2 + 5(3y)y + 7y^2 = 31$

$9y^2 + 15y^2 + 7y^2 = 31$

$31y^2 = 31$

$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y = 1$, то $x = 3(1) = 3$.

Если $y = -1$, то $x = 3(-1) = -3$.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$

8)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 47; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:

$2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{3}{2}y)^2 + 3(\frac{3}{2}y)y + 5y^2 = 47$

$\frac{9}{4}y^2 + \frac{9}{2}y^2 + 5y^2 = 47$

Приведем к общему знаменателю 4:

$\frac{9}{4}y^2 + \frac{18}{4}y^2 + \frac{20}{4}y^2 = 47$

$\frac{9 + 18 + 20}{4}y^2 = 47$

$\frac{47}{4}y^2 = 47$

$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y = 2$, то $x = \frac{3}{2}(2) = 3$.

Если $y = -2$, то $x = \frac{3}{2}(-2) = -3$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$

9)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 5; \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители, рассматривая как квадратное уравнение относительно $x$:

$(x - 4y)(x - y) = 0$

Отсюда следует, что $x - 4y = 0$ или $x - y = 0$.

То есть, $x = 4y$ или $x = y$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x = y$

Подставим это во второе уравнение системы:

$y^2 + 3y \cdot y + 5y^2 = 5$

$y^2 + 3y^2 + 5y^2 = 5$

$9y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{5}{9} \implies y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

Так как $x=y$, получаем две пары решений: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$.

Случай 2: $x = 4y$

Подставим это во второе уравнение системы:

$(4y)^2 + 3(4y)y + 5y^2 = 5$

$16y^2 + 12y^2 + 5y^2 = 5$

$33y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{5}{33} \implies y = \pm \sqrt{\frac{5}{33}} = \pm \frac{\sqrt{165}}{33}$

Найдем соответствующие значения $x=4y$:

Если $y = \frac{\sqrt{165}}{33}$, то $x = \frac{4\sqrt{165}}{33}$.

Если $y = -\frac{\sqrt{165}}{33}$, то $x = -\frac{4\sqrt{165}}{33}$.

Получаем еще две пары решений.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$, $(\frac{4\sqrt{165}}{33}, \frac{\sqrt{165}}{33})$, $(-\frac{4\sqrt{165}}{33}, -\frac{\sqrt{165}}{33})$

6.43. При каких значениях $a$ система уравнений имеет по меньшей мере три разных корня:

$\begin{cases} y^2 + 2y(2+x) + (x^2+2x)(4-x^2) = 0, \\ y - ax - 3a = 0? \end{cases}$

Решение:

Для начала преобразуем первое уравнение системы. Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно переменной $y$: $y^2 + 2y(2+x) + (x^2+2x)(4-x^2) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения. Для удобства вычислений разделим его на 4: $D/4 = (2+x)^2 - (x^2+2x)(4-x^2) = (x+2)^2 - x(x+2)(2-x)(2+x)$ Вынесем общий множитель $(x+2)^2$: $D/4 = (x+2)^2 [1 - x(2-x)] = (x+2)^2 [1 - 2x + x^2] = (x+2)^2 (x-1)^2$ Таким образом, $D = [2(x+2)(x-1)]^2$.

Так как дискриминант является полным квадратом, корни уравнения для $y$ легко находятся: $y = \frac{-2(2+x) \pm \sqrt{[2(x+2)(x-1)]^2}}{2} = -(x+2) \pm (x+2)(x-1)$

Отсюда получаем два выражения для $y$: $y_1 = -(x+2) + (x+2)(x-1) = (x+2)(-1 + x - 1) = (x+2)(x-2) = x^2 - 4$ $y_2 = -(x+2) - (x+2)(x-1) = (x+2)(-1 - (x-1)) = (x+2)(-1 - x + 1) = -x(x+2) = -x^2 - 2x$

Следовательно, первое уравнение системы эквивалентно совокупности двух уравнений, графиками которых являются параболы: $y = x^2 - 4$ (парабола $P_1$) $y = -x^2 - 2x$ (парабола $P_2$)

Второе уравнение системы, $y - ax - 3a = 0$, можно переписать в виде $y = a(x+3)$. Это уравнение задает семейство прямых, проходящих через точку $(-3, 0)$ с угловым коэффициентом $a$.

Задача сводится к тому, чтобы найти значения параметра $a$, при которых прямая $y=a(x+3)$ имеет по меньшей мере три общие точки с объединением графиков парабол $P_1$ и $P_2$.

Найдем точки пересечения парабол $P_1$ и $P_2$: $x^2 - 4 = -x^2 - 2x \implies 2x^2 + 2x - 4 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$ Решая квадратное уравнение, получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Соответствующие ординаты: При $x=1$, $y = 1^2 - 4 = -3$. Точка $B(1, -3)$. При $x=-2$, $y = (-2)^2 - 4 = 0$. Точка $A(-2, 0)$.

Для наглядности изобразим графики парабол и некоторые ключевые точки на координатной плоскости. Парабола $P_1$ $y=x^2-4$ имеет вершину в $(0,-4)$ и ветви вверх. Парабола $P_2$ $y=-x^2-2x = -(x+1)^2+1$ имеет вершину в $(-1,1)$ и ветви вниз.

Число решений системы равно числу точек пересечения прямой $y=a(x+3)$ с объединением парабол. Проанализируем это число, находя критические значения параметра $a$.

1. Касание прямой и парабол.
- Касание $P_1$: $x^2-ax-(3a+4)=0$. Дискриминант $D_1 = a^2+12a+16=0$ при $a = -6 \pm \sqrt{36-16} = -6 \pm \sqrt{20} = -6 \pm 2\sqrt{5}$.
- Касание $P_2$: $x^2+(a+2)x+3a=0$. Дискриминант $D_2 = (a+2)^2-12a = a^2-8a+4=0$ при $a = 4 \pm \sqrt{16-4} = 4 \pm \sqrt{12} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.

2. Прохождение прямой через точки пересечения парабол.
- Прямая проходит через $A(-2, 0)$: $0 = a(-2+3) \implies a=0$.
- Прямая проходит через $B(1, -3)$: $-3 = a(1+3) \implies 4a=-3 \implies a=-3/4$.

Расположим эти критические значения $a$ на числовой оси: $-6-2\sqrt{5} < -6+2\sqrt{5} < -3/4 < 0 < 4-2\sqrt{3} < 4+2\sqrt{3}$.

Проанализируем количество решений ($N$) в каждом из полученных интервалов, вращая прямую вокруг точки $(-3,0)$. - При $a \in (-\infty, -6-2\sqrt{5})$, прямая пересекает каждую параболу в двух точках. $N=4$. - При $a = -6-2\sqrt{5}$, прямая касается $P_1$ и пересекает $P_2$ в двух точках. $N=1+2=3$. - При $a \in (-6-2\sqrt{5}, -6+2\sqrt{5})$, прямая не пересекает $P_1$ и пересекает $P_2$ в двух точках. $N=0+2=2$. - При $a = -6+2\sqrt{5}$, прямая касается $P_1$ и пересекает $P_2$ в двух точках. $N=1+2=3$. - При $a \in (-6+2\sqrt{5}, 4-2\sqrt{3})$, прямая пересекает каждую параболу в двух точках. Если $a \neq -3/4$ и $a \neq 0$, то все 4 точки различны, $N=4$. Если $a=-3/4$ или $a=0$, прямая проходит через общую точку парабол, и число различных решений становится $N=2+2-1=3$. В любом случае, для этого интервала $N \ge 3$. - При $a = 4-2\sqrt{3}$, прямая касается $P_2$ и пересекает $P_1$ в двух точках. $N=2+1=3$. - При $a \in (4-2\sqrt{3}, 4+2\sqrt{3})$, прямая пересекает $P_1$ в двух точках, но не пересекает $P_2$. $N=2+0=2$. - При $a = 4+2\sqrt{3}$, прямая касается $P_2$ и пересекает $P_1$ в двух точках. $N=2+1=3$. - При $a \in (4+2\sqrt{3}, \infty)$, прямая пересекает каждую параболу в двух точках. $N=4$.

Система имеет по меньшей мере три различных корня, если $N \ge 3$. Объединяя все случаи, где это условие выполняется, получаем:

Ответ: $a \in (-\infty, -6-2\sqrt{5}] \cup [-6+2\sqrt{5}, 4-2\sqrt{3}] \cup [4+2\sqrt{3}, \infty)$.

6.44. Докажите неравенства:

1) $(6u-1)(u+2) < (3u+4)(2u+1);$

2) $(3v-1)(2v+1) > (2v-1)(2+3v);$

3) $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab};$

4) $a + \frac{1}{a} \ge 2, a > 0;$

5) $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc};$

6) $(x+y)\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \ge 4, (x>0, y>0);$

7) $a+b+c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc}, (a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0);$

8) $(1-a)(1-b)(1-c) \ge 8abc, (a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0, a+b+c=1).$

1) Докажем неравенство $(6u-1)(u+2) < (3u+4)(2u+1)$. Раскроем скобки в обеих частях неравенства. Левая часть: $(6u-1)(u+2) = 6u^2 + 12u - u - 2 = 6u^2 + 11u - 2$. Правая часть: $(3u+4)(2u+1) = 6u^2 + 3u + 8u + 4 = 6u^2 + 11u + 4$. Подставим полученные выражения в исходное неравенство: $6u^2 + 11u - 2 < 6u^2 + 11u + 4$. Вычтем из обеих частей выражение $6u^2 + 11u$: $-2 < 4$. Мы получили верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $u$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $(3v-1)(2v+1) > (2v-1)(2+3v)$. Раскроем скобки в обеих частях. Левая часть: $(3v-1)(2v+1) = 6v^2 + 3v - 2v - 1 = 6v^2 + v - 1$. Правая часть: $(2v-1)(2+3v) = 4v + 6v^2 - 2 - 3v = 6v^2 + v - 2$. Подставим полученные выражения в исходное неравенство: $6v^2 + v - 1 > 6v^2 + v - 2$. Вычтем из обеих частей выражение $6v^2 + v$: $-1 > -2$. Мы получили верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $v$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Это неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух чисел. Оно справедливо для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ (условие $a,b \ge 0$ необходимо, чтобы выражение $\sqrt{ab}$ было определено в действительных числах). Доказательство основано на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Рассмотрим неравенство $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$. Раскроем скобки в левой части: $(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$, что равносильно $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$. Перенесём $2\sqrt{ab}$ в правую часть: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. Разделив обе части на 2, получаем требуемое неравенство: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$ при $a > 0$. Это неравенство является следствием неравенства Коши (см. пункт 3). Применим его к числам $a$ и $\frac{1}{a}$. Так как $a>0$, то и $\frac{1}{a}>0$. $\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$. $\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{1}$. $\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge 1$. Умножив обе части на 2, получим $a + \frac{1}{a} \ge 2$.
Другой способ — алгебраический. Перенесём 2 в левую часть и приведём выражение к общему знаменателю: $a + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$. $\frac{a^2 - 2a + 1}{a} \ge 0$. $\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$. По условию $a>0$, значит, знаменатель положителен. Числитель $(a-1)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен ($\ge 0$). Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, также неотрицательна.

Ответ: Неравенство доказано.

5) Докажем неравенство $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$. Это неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трёх неотрицательных чисел $a, b, c$. Для доказательства воспользуемся тождеством: $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)$. Для любых неотрицательных $x, y, z$ правая часть этого тождества неотрицательна, так как $x+y+z \ge 0$ и сумма квадратов $((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2) \ge 0$. Следовательно, для любых $x,y,z \ge 0$ справедливо неравенство $x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz$. Положим $x = \sqrt[3]{a}$, $y = \sqrt[3]{b}$, $z = \sqrt[3]{c}$. Поскольку $a,b,c \ge 0$, то $x,y,z$ также неотрицательны. Подставим их в доказанное выше неравенство: $(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 + (\sqrt[3]{c})^3 \ge 3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}\sqrt[3]{c}$. $a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$. Разделив обе части на 3, получим исходное неравенство: $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$.

Ответ: Неравенство доказано.

6) Докажем неравенство $(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \ge 4$ при $x>0, y>0$.
Способ 1: Раскроем скобки в левой части. $(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) = x \cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{y} + y \cdot \frac{1}{x} + y \cdot \frac{1}{y} = 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$. Неравенство принимает вид $2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 4$, что эквивалентно $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$. Это неравенство было доказано в пункте 4 (если положить $a = \frac{x}{y}$, то т.к. $x>0, y>0$, получим $a>0$).
Способ 2: Применим неравенство Коши. Для $x>0, y>0$ справедливы неравенства: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge 2\sqrt{\frac{1}{x}\frac{1}{y}} = \frac{2}{\sqrt{xy}}$ Так как обе части обоих неравенств положительны, их можно перемножить: $(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \ge 2\sqrt{xy} \cdot \frac{2}{\sqrt{xy}}$. $(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \ge 4$.

Ответ: Неравенство доказано.

7) Докажем неравенство $a+b+c \ge \sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc}$ при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$. Умножим обе части неравенства на 2: $2a+2b+2c \ge 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{ac} + 2\sqrt{bc}$. Перенесём все члены в левую часть: $2a+2b+2c - 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{ac} - 2\sqrt{bc} \ge 0$. Перегруппируем слагаемые в левой части, чтобы выделить полные квадраты разности: $(a - 2\sqrt{ab} + b) + (a - 2\sqrt{ac} + c) + (b - 2\sqrt{bc} + c) \ge 0$. Каждое выражение в скобках является полным квадратом: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{c})^2 + (\sqrt{b} - \sqrt{c})^2 \ge 0$. Сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна, следовательно, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

8) Докажем неравенство $(1-a)(1-b)(1-c) \ge 8abc$ при $a\ge0, b\ge0, c\ge0$ и $a+b+c=1$. Используя условие $a+b+c=1$, заменим выражения в скобках: $1-a = (a+b+c) - a = b+c$; $1-b = (a+b+c) - b = a+c$; $1-c = (a+b+c) - c = a+b$. Подставим эти выражения в исходное неравенство: $(b+c)(a+c)(a+b) \ge 8abc$. Теперь воспользуемся неравенством Коши для двух неотрицательных чисел ($x+y \ge 2\sqrt{xy}$) для каждого сомножителя в левой части: $b+c \ge 2\sqrt{bc}$; $a+c \ge 2\sqrt{ac}$; $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. Так как $a,b,c \ge 0$, все части этих неравенств неотрицательны, и мы можем их перемножить: $(b+c)(a+c)(a+b) \ge (2\sqrt{bc})(2\sqrt{ac})(2\sqrt{ab})$. $(b+c)(a+c)(a+b) \ge 8\sqrt{a^2b^2c^2}$. Поскольку $a,b,c \ge 0$, то $\sqrt{a^2b^2c^2} = abc$. Таким образом, мы получаем: $(b+c)(a+c)(a+b) \ge 8abc$, что после обратной замены доказывает исходное неравенство.

Ответ: Неравенство доказано.