Номер 6.42, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.42. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + 5y = 11, \\ 2x - 3y = 17; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 20x - 15y = 51, \\ 4x - 3y = 10,2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x + 5y = 20, \\ 6x + 10y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 3; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x + 4y = 12, \\ x^2 + y^2 = 5,76; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5x - 12y = 60, \\ x^2 + y^2 = 4; \end{cases}$

7) $\begin{cases} x = 3y, \\ x^2 + 5xy + 7y^2 = 31; \end{cases}$

8) $\begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 47; \end{cases}$

9) $\begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 5. \end{cases}$

1)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 11, \\ 2x - 3y = 17; \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$ \begin{cases} 9x + 15y = 33, \\ 10x - 15y = 85; \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения:

$(9x + 10x) + (15y - 15y) = 33 + 85$

$19x = 118$

$x = \frac{118}{19}$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$3 \cdot (\frac{118}{19}) + 5y = 11$

$\frac{354}{19} + 5y = 11$

$5y = 11 - \frac{354}{19}$

$5y = \frac{11 \cdot 19 - 354}{19}$

$5y = \frac{209 - 354}{19}$

$5y = -\frac{145}{19}$

$y = -\frac{145}{19 \cdot 5} = -\frac{29}{19}$

Ответ: $(\frac{118}{19}, -\frac{29}{19})$

2)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 51, \\ 4x - 3y = 10,2; \end{cases} $

Разделим первое уравнение на 5:

$\frac{20x - 15y}{5} = \frac{51}{5}$

$4x - 3y = 10,2$

Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением системы. Это означает, что уравнения линейно зависимы, и система имеет бесконечное множество решений. Все точки, лежащие на прямой $4x - 3y = 10,2$, являются решениями системы.

Выразим $y$ через $x$:

$3y = 4x - 10,2$

$y = \frac{4}{3}x - 3,4$

Ответ: система имеет бесконечное множество решений вида $(x, \frac{4}{3}x - 3,4)$, где $x$ – любое действительное число.

3)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 20, \\ 6x + 10y = 7; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2:

$2(3x + 5y) = 2 \cdot 20$

$6x + 10y = 40$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} 6x + 10y = 40, \\ 6x + 10y = 7; \end{cases} $

Левые части уравнений одинаковы, а правые различны. Приравнивая их, получаем противоречие: $40 = 7$. Это означает, что система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 3; \end{cases} $

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 3 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(3 - 2y)^2 - 3(3 - 2y)y + 5y^2 = 3$

$(9 - 12y + 4y^2) - (9y - 6y^2) + 5y^2 = 3$

$9 - 12y + 4y^2 - 9y + 6y^2 + 5y^2 = 3$

Приведем подобные члены:

$15y^2 - 21y + 9 = 3$

$15y^2 - 21y + 6 = 0$

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить его:

$5y^2 - 7y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 - 2(1) = 1$.

Если $y_2 = \frac{2}{5}$, то $x_2 = 3 - 2(\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{15 - 4}{5} = \frac{11}{5}$.

Ответ: $(1, 1)$, $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 12, \\ x^2 + y^2 = 5,76; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:

$3x = 12 - 4y \implies x = \frac{12 - 4y}{3} = 4 - \frac{4}{3}y$

Подставим это во второе уравнение:

$(4 - \frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 5,76$

$16 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{4}{3}y + (\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 5,76$

$16 - \frac{32}{3}y + \frac{16}{9}y^2 + y^2 = 5,76$

$(\frac{16}{9} + 1)y^2 - \frac{32}{3}y + 16 - 5,76 = 0$

$\frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + 10,24 = 0$

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $10,24 = \frac{1024}{100} = \frac{256}{25}$.

$\frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + \frac{256}{25} = 0$

Умножим уравнение на $225$ (НОК для 9 и 25):

$25 \cdot 25y^2 - 32 \cdot 75y + 256 \cdot 9 = 0$

$625y^2 - 2400y + 2304 = 0$

Это квадратное уравнение вида $(25y - 48)^2 = 0$, так как $(25y)^2 = 625y^2$, $48^2 = 2304$, и $2 \cdot 25y \cdot 48 = 2400y$.

$25y - 48 = 0 \implies y = \frac{48}{25} = 1,92$

Найдем $x$:

$x = 4 - \frac{4}{3}y = 4 - \frac{4}{3} \cdot \frac{48}{25} = 4 - \frac{4 \cdot 16}{25} = 4 - \frac{64}{25} = \frac{100 - 64}{25} = \frac{36}{25} = 1,44$

Ответ: $(\frac{36}{25}, \frac{48}{25})$ или $(1,44; 1,92)$

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 12y = 60, \\ x^2 + y^2 = 4; \end{cases} $

Второе уравнение — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Первое уравнение — это уравнение прямой. Найдем расстояние $d$ от центра окружности до этой прямой по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Уравнение прямой: $5x - 12y - 60 = 0$. Центр окружности: $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

$d = \frac{|5(0) - 12(0) - 60|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-60|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{60}{\sqrt{169}} = \frac{60}{13}$

Сравним расстояние $d$ с радиусом $r$:

$d = \frac{60}{13} \approx 4,61$

$r = 2$

Так как $d > r$, прямая не пересекает окружность. Следовательно, система не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

7)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 3y, \\ x^2 + 5xy + 7y^2 = 31; \end{cases} $

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(3y)^2 + 5(3y)y + 7y^2 = 31$

$9y^2 + 15y^2 + 7y^2 = 31$

$31y^2 = 31$

$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y = 1$, то $x = 3(1) = 3$.

Если $y = -1$, то $x = 3(-1) = -3$.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$

8)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 47; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:

$2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{3}{2}y)^2 + 3(\frac{3}{2}y)y + 5y^2 = 47$

$\frac{9}{4}y^2 + \frac{9}{2}y^2 + 5y^2 = 47$

Приведем к общему знаменателю 4:

$\frac{9}{4}y^2 + \frac{18}{4}y^2 + \frac{20}{4}y^2 = 47$

$\frac{9 + 18 + 20}{4}y^2 = 47$

$\frac{47}{4}y^2 = 47$

$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y = 2$, то $x = \frac{3}{2}(2) = 3$.

Если $y = -2$, то $x = \frac{3}{2}(-2) = -3$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$

9)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 5; \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители, рассматривая как квадратное уравнение относительно $x$:

$(x - 4y)(x - y) = 0$

Отсюда следует, что $x - 4y = 0$ или $x - y = 0$.

То есть, $x = 4y$ или $x = y$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x = y$

Подставим это во второе уравнение системы:

$y^2 + 3y \cdot y + 5y^2 = 5$

$y^2 + 3y^2 + 5y^2 = 5$

$9y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{5}{9} \implies y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

Так как $x=y$, получаем две пары решений: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$.

Случай 2: $x = 4y$

Подставим это во второе уравнение системы:

$(4y)^2 + 3(4y)y + 5y^2 = 5$

$16y^2 + 12y^2 + 5y^2 = 5$

$33y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{5}{33} \implies y = \pm \sqrt{\frac{5}{33}} = \pm \frac{\sqrt{165}}{33}$

Найдем соответствующие значения $x=4y$:

Если $y = \frac{\sqrt{165}}{33}$, то $x = \frac{4\sqrt{165}}{33}$.

Если $y = -\frac{\sqrt{165}}{33}$, то $x = -\frac{4\sqrt{165}}{33}$.

Получаем еще две пары решений.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$, $(\frac{4\sqrt{165}}{33}, \frac{\sqrt{165}}{33})$, $(-\frac{4\sqrt{165}}{33}, -\frac{\sqrt{165}}{33})$