Номер 6.47, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.47. Сравните время, за которое моторная лодка проплывает 20 км пути по озеру, и время, за которое она проплывает 10 км пути против течения и 10 км пути по течению реки.

Для решения этой задачи необходимо сравнить два промежутка времени. Обозначим собственную скорость моторной лодки (ее скорость в стоячей воде, например, в озере) как $v_л$, а скорость течения реки — как $v_т$. Предполагается, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $v_л > v_т > 0$.

1. Найдем время движения по озеру.

Лодка должна проплыть расстояние $S_1 = 20$ км. Поскольку в озере нет течения, ее скорость будет равна собственной скорости $v_л$. Время, затраченное на этот путь, составляет:

$t_{озеро} = \frac{S_1}{v_л} = \frac{20}{v_л}$

2. Найдем общее время движения по реке.

Этот путь состоит из двух участков: 10 км против течения и 10 км по течению.

Скорость лодки при движении по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_т$.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{10}{v_л + v_т}$.

Скорость лодки при движении против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_т$.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{против} = \frac{10}{v_л - v_т}$.

Общее время движения по реке — это сумма времен движения по течению и против течения:

$t_{река} = t_{по} + t_{против} = \frac{10}{v_л + v_т} + \frac{10}{v_л - v_т}$

3. Сравним полученные времена.

Упростим выражение для времени движения по реке, приведя дроби к общему знаменателю $(v_л + v_т)(v_л - v_т) = v_л^2 - v_т^2$:

$t_{река} = \frac{10(v_л - v_т) + 10(v_л + v_т)}{(v_л + v_т)(v_л - v_т)} = \frac{10v_л - 10v_т + 10v_л + 10v_т}{v_л^2 - v_т^2} = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2}$

Теперь нам нужно сравнить $t_{озеро} = \frac{20}{v_л}$ и $t_{река} = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2}$.

Для удобства сравнения приведем оба выражения к одинаковому числителю. Умножим числитель и знаменатель дроби для $t_{озеро}$ на $v_л$:

$t_{озеро} = \frac{20 \cdot v_л}{v_л \cdot v_л} = \frac{20v_л}{v_л^2}$

Теперь мы сравниваем две дроби с одинаковым положительным числителем ($20v_л$):

$t_{озеро} = \frac{20v_л}{v_л^2}$ и $t_{река} = \frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2}$

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели этих дробей: $v_л^2$ и $v_л^2 - v_т^2$.

Поскольку скорость течения $v_т$ — положительная величина, то $v_т^2 > 0$. Следовательно:

$v_л^2 - v_т^2 < v_л^2$

Так как знаменатель дроби для $t_{река}$ меньше знаменателя дроби для $t_{озеро}$, то сама дробь для $t_{река}$ будет больше:

$\frac{20v_л}{v_л^2 - v_т^2} > \frac{20v_л}{v_л^2}$

Таким образом, $t_{река} > t_{озеро}$.

Это означает, что на путь по реке (10 км против течения и 10 км по течению) лодка затратит больше времени, чем на 20 км по озеру. Интуитивно это можно объяснить тем, что выигрыш во времени при движении по течению меньше, чем проигрыш во времени при движении против течения на такое же расстояние.

Ответ: время, за которое моторная лодка проплывает 10 км пути против течения и 10 км пути по течению реки, больше, чем время, за которое она проплывает 20 км пути по озеру.