Номер 6.54, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.54. При каких значениях $a$ любое решение неравенства $x^2-3x-4<0$ является решением неравенства $x^2-a^2<0$?

Условие задачи заключается в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых множество решений неравенства $x^2-3x-4<0$ является подмножеством множества решений неравенства $x^2-a^2<0$.

Сначала решим первое неравенство: $x^2-3x-4<0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-3x-4=0$. Используя теорему Виета, находим, что сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-4$. Отсюда корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y=x^2-3x-4$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, неравенство $x^2-3x-4<0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, множество решений первого неравенства — это интервал $(-1, 4)$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2-a^2<0$.

Это неравенство можно переписать в виде $x^2 < a^2$. Оно равносильно неравенству $|x| < \sqrt{a^2}$, что то же самое, что $|x| < |a|$.

Если $a=0$, неравенство принимает вид $x^2 < 0$, что не имеет решений. В этом случае условие задачи не выполняется, так как множество решений первого неравенства $(-1, 4)$ непустое.

Если $a \neq 0$, то $|a|>0$, и решением неравенства $|x| < |a|$ является интервал $(-|a|, |a|)$.

Для того чтобы любое решение первого неравенства было также решением второго, интервал $(-1, 4)$ должен полностью содержаться в интервале $(-|a|, |a|)$. Это можно записать как $(-1, 4) \subseteq (-|a|, |a|)$.

Это включение будет верным, если левая граница внешнего интервала будет меньше или равна левой границе внутреннего, а правая граница внутреннего — меньше или равна правой границе внешнего. Это можно представить в виде системы неравенств:

$\begin{cases} -|a| \le -1 \\ 4 \le |a| \end{cases}$

Визуализируем это на числовой оси:

Решим полученную систему:

$\begin{cases} |a| \ge 1 \\ |a| \ge 4 \end{cases}$

Пересечением решений этих двух неравенств является более сильное из них, то есть $|a| \ge 4$.

Неравенство $|a| \ge 4$ равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge 4$ или $a \le -4$.

Таким образом, искомые значения параметра $a$ принадлежат объединению промежутков $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.