Номер 6.56, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.56. Упростите выражения:

1) $ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2}; $

2) $ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}}; $

3) $ \frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}; $

4) $ \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} : \left( \frac{1}{b^{-n}} - \frac{1}{a^{-n}} \right)^{-1}; $

5) $ \frac{a^{-2n} - b^{-2n}}{a^{-n} - b^{-n}} \cdot \left( \frac{1}{b^{-n}} + \frac{1}{a^{-n}} \right)^{-1}. $

1) Упростим выражение $ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2} $.
Сначала преобразуем числитель, используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $.
Приведем к общему знаменателю $ xy $:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy} $.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$ \frac{\frac{x+y}{xy}}{(x+y)^2} $.
Разделим числитель на знаменатель, что эквивалентно умножению на обратное число:
$ \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{(x+y)^2} $.
Сократим общий множитель $ (x+y) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{1}{xy(x+y)} $.
Ответ: $ \frac{1}{xy(x+y)} $.

2) Упростим выражение $ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} $.
Перепишем все степени с отрицательными показателями в виде дробей:
$ \frac{a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $.
Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби:
Числитель: $ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $.
Знаменатель: $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} $.
Подставим обратно в выражение:
$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} $.
Разделим дроби, умножив на перевернутую вторую дробь, и сократим $ ab $:
$ \frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{a^2 - b^2}{b - a} $.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{b - a} $.
Заметим, что $ b-a = -(a-b) $, и сократим дробь:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)} = -(a+b) $.
Ответ: $ -(a+b) $.

3) Упростим выражение $ \frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}} $.
Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $ a^5 $, в знаменателе — $ a^{-7} $:
Числитель: $ a^5(1 + a + a^2) $.
Знаменатель: $ a^{-7}(a^2 + a + 1) $.
Подставим в дробь:
$ \frac{a^5(1 + a + a^2)}{a^{-7}(1 + a + a^2)} $.
Сократим одинаковый множитель $ (1 + a + a^2) $:
$ \frac{a^5}{a^{-7}} $.
Используем свойство частного степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ a^{5 - (-7)} = a^{5+7} = a^{12} $.
Ответ: $ a^{12} $.

4) Упростим выражение $ \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} : \left(\frac{1}{b^{-n}} - \frac{1}{a^{-n}}\right)^{-1} $.
Рассмотрим первую дробь. Знаменатель является разностью квадратов: $ a^{-2n} - b^{-2n} = (a^{-n})^2 - (b^{-n})^2 = (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) $.
$ \frac{a^{-n} + b^{-n}}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})} = \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} $.
Теперь упростим вторую часть выражения. Сначала преобразуем выражение в скобках: $ \frac{1}{b^{-n}} = b^n $ и $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $.
$ \left(b^n - a^n\right)^{-1} = \frac{1}{b^n - a^n} $.
Исходное выражение принимает вид:
$ \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} : \frac{1}{b^n - a^n} $.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} \cdot (b^n - a^n) $.
Преобразуем знаменатель первой дроби: $ a^{-n} - b^{-n} = \frac{1}{a^n} - \frac{1}{b^n} = \frac{b^n - a^n}{a^n b^n} $.
Подставим это в выражение:
$ \frac{1}{\frac{b^n - a^n}{a^n b^n}} \cdot (b^n - a^n) = \frac{a^n b^n}{b^n - a^n} \cdot (b^n - a^n) $.
Сократим $ (b^n - a^n) $:
$ a^n b^n = (ab)^n $.
Ответ: $ (ab)^n $.

5) Упростим выражение $ \frac{a^{-2n} - b^{-2n}}{a^{-n} - b^{-n}} \cdot \left(\frac{1}{b^{-n}} + \frac{1}{a^{-n}}\right)^{-1} $.
Упростим первую дробь. Используем формулу разности квадратов для числителя: $ a^{-2n} - b^{-2n} = (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) $.
$ \frac{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})}{a^{-n} - b^{-n}} = a^{-n} + b^{-n} $.
Теперь упростим вторую часть. Сначала выражение в скобках: $ \frac{1}{b^{-n}} + \frac{1}{a^{-n}} = b^n + a^n $.
Возведем в степень -1: $ (b^n + a^n)^{-1} = \frac{1}{a^n + b^n} $.
Теперь перемножим обе упрощенные части:
$ (a^{-n} + b^{-n}) \cdot \frac{1}{a^n + b^n} $.
Преобразуем первый множитель: $ a^{-n} + b^{-n} = \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} = \frac{b^n + a^n}{a^n b^n} $.
Подставим в выражение:
$ \frac{a^n + b^n}{a^n b^n} \cdot \frac{1}{a^n + b^n} $.
Сократим общий множитель $ (a^n + b^n) $:
$ \frac{1}{a^n b^n} $.
Это можно записать как $ (ab)^{-n} $.
Ответ: $ (ab)^{-n} $.