Номер 6.61, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.61. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{2x-5}$;

2) $y = \frac{x}{x^2-5x+6}$;

3) $y = \sqrt{3x-9}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt{-4x+2}}$;

5) $y = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$;

6) $y = \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$;

7) $y = \frac{3}{x-2\sqrt{x}}$;

8) $y = \frac{2}{\sqrt{x^2-6x+8}-2}$.

1) Область определения функции $y = \frac{1}{2x-5}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Таким образом, мы должны решить неравенство $2x - 5 \neq 0$.
$2x \neq 5$
$x \neq \frac{5}{2}$
$x \neq 2.5$
Областью определения являются все действительные числа, кроме $2.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

2) Для функции $y = \frac{x}{x^2 - 5x + 6}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в нуль, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

3) Для функции $y = \sqrt{3x - 9}$ выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$3x - 9 \ge 0$
$3x \ge 9$
$x \ge 3$
Область определения — все числа, большие или равные 3.
Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

4) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{-4x + 2}}$ выражение под знаком квадратного корня находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.
$-4x + 2 > 0$
$-4x > -2$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-2}{-4}$
$x < \frac{1}{2}$
Область определения — все числа, меньшие $0.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0.5)$.

5) Для функции $y = \frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ необходимо выполнение двух условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x} - 3 \neq 0$.
Из второго условия получаем $\sqrt{x} \neq 3$, что после возведения в квадрат дает $x \neq 9$.
Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 9$), получаем область определения.
Ответ: $x \in [0; 9) \cup (9; +\infty)$.

6) Для функции $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$ должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x} - 1 \neq 0$.
Из второго условия имеем $\sqrt{x} \neq 1$, то есть $x \neq 1$.
Совмещая условия $x \ge 0$ и $x \neq 1$, находим область определения.
Ответ: $x \in [0; 1) \cup (1; +\infty)$.

7) Для функции $y = \frac{3}{x - 2\sqrt{x}}$ должны выполняться два условия:
1. По определению квадратного корня: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 2\sqrt{x} \neq 0$.
Решим уравнение $x - 2\sqrt{x} = 0$. Вынесем $\sqrt{x}$ за скобку: $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$ и $\sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$.
Значит, $x$ не может быть равен 0 и 4. С учетом условия $x \ge 0$, получаем $x>0$ и $x \neq 4$.
Ответ: $x \in (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

8) Для функции $y = \frac{2}{\sqrt{x^2 - 6x + 8} - 2}$ должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x^2 - 6x + 8} - 2 \neq 0$.
Сначала решим неравенство $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ это $x_1=2$ и $x_2=4$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.
Теперь решим условие для знаменателя: $\sqrt{x^2 - 6x + 8} \neq 2$. Возведем обе части в квадрат: $x^2 - 6x + 8 \neq 4$, что эквивалентно $x^2 - 6x + 4 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 4 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.
Корни: $x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.
Таким образом, $x \neq 3 - \sqrt{5}$ и $x \neq 3 + \sqrt{5}$.
Теперь нужно исключить эти значения из найденного ранее множества $(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.
Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.236$.
$3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.236 = 0.764$. Это значение попадает в интервал $(-\infty; 2]$.
$3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.236 = 5.236$. Это значение попадает в интервал $[4; +\infty)$.
Следовательно, обе точки должны быть исключены.
Ответ: $x \in (-\infty; 3-\sqrt{5}) \cup (3-\sqrt{5}; 2] \cup [4; 3+\sqrt{5}) \cup (3+\sqrt{5}; +\infty)$.