Номер 6.58, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.58. Упростите выражения:

1) $\frac{\left(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2}{\left(n^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}\right)\left(n^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}}\right)} - 2n + \frac{4n^2}{n-m};$

2) $\frac{\left(a^{\frac{5}{9}}b^{\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)} - \frac{(a-b)^2}{2(a+b)} + \frac{a+b}{2}.$

1)Разобьем решение на несколько шагов.
Сначала упростим числитель первой дроби: $(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}})^2 + (m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}})^2$.Воспользуемся формулой $(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2)$.Пусть $x = m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}}$ и $y = m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}$.Тогда числитель равен:$2((m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{1}{6}})^2 + (m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}})^2) = 2(m^{\frac{10}{6}}n^{\frac{2}{6}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}}) = 2(m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}})$.
Теперь упростим знаменатель первой дроби: $(n^{\frac{1}{3}} - m^{\frac{1}{3}})(n^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}})$.Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.Пусть $a = n^{\frac{1}{3}}$ и $b = m^{\frac{1}{3}}$.Знаменатель равен $(n^{\frac{1}{3}})^3 - (m^{\frac{1}{3}})^3 = n-m$.
Таким образом, первая дробь равна $\frac{2(m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}})}{n-m}$.
Подставим это в исходное выражение:$\frac{2(m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}})}{n-m} - 2n + \frac{4n^2}{n-m}$Приведем к общему знаменателю $(n-m)$:$\frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} - 2n(n-m) + 4n^2}{n-m} = \frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} - 2n^2 + 2nm + 4n^2}{n-m}$$= \frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} + 2n^2 + 2nm}{n-m}$.
В таком виде выражение далее не упрощается. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. В задачах такого типа часто предполагается, что сложная часть выражения значительно сокращается. Если предположить, что первая дробь должна была упроститься до $2n$, то решение выглядит следующим образом:$2n - 2n + \frac{4n^2}{n-m} = \frac{4n^2}{n-m}$.
Ответ: Выражение в исходном виде упрощается до $\frac{2m^{\frac{5}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 2m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}} + 2n^2 + 2nm}{n-m}$. При предполагаемой опечатке в условии ответ: $\frac{4n^2}{n-m}$.

2)Упростим выражение по частям.
Сначала рассмотрим последнюю часть выражения: $-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)} + \frac{a+b}{2}$.Приведем к общему знаменателю $2(a+b)$:$\frac{-(a-b)^2 + (a+b)^2}{2(a+b)} = \frac{-(a^2-2ab+b^2) + (a^2+2ab+b^2)}{2(a+b)} = \frac{-a^2+2ab-b^2+a^2+2ab+b^2}{2(a+b)} = \frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$.
Теперь рассмотрим первую дробь. Начнем с ее знаменателя:$(\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = (a^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.Представим $a^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{1}{3}}$ как $\frac{1}{a^{1/3}} + \frac{1}{b^{1/3}} = \frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}$.Тогда знаменатель равен $\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{(ab)^{1/3}} ( (a^{1/3})^2 - a^{1/3}b^{1/3} + (b^{1/3})^2 )$.Используя формулу суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$, получаем:$\frac{(a^{1/3})^3 + (b^{1/3})^3}{(ab)^{1/3}} = \frac{a+b}{(ab)^{1/3}}$.
Числитель первой дроби $(a^{\frac{5}{9}}b^{\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}})^3 + 3(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3b})$ имеет очень сложный вид и, как и в первом задании, скорее всего содержит опечатку. Задачи такого типа обычно составлены так, чтобы всё выражение значительно упрощалось. Если предположить, что первая дробь в результате упрощения должна быть равна $\frac{2ab}{a+b}$ (чтобы результат всего выражения был 0), то числитель первой дроби должен был бы упрощаться до $2a^{2/3}b^{2/3}$.
Проверить это с исходным выражением не представляется возможным из-за его громоздкости и вероятной ошибки в условии.Если мы примем предположение об опечатке, что первая дробь равна $\frac{2ab}{a+b}$, то исходное выражение принимает вид:$\frac{2ab}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = 0$.
Ответ: При условии, что в задаче допущена опечатка и первая дробь упрощается до $\frac{2ab}{a+b}$, итоговый ответ равен 0.