Номер 6.57, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.57. Упростите выражения:

1) $a^{\frac{5}{3}} b^{-\frac{1}{6}}\left(a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}\right)^{4}$;

2) $\left(c^{-\frac{3}{7}} x^{-0.4}\right)^{3} \cdot c^{\frac{2}{7}} x^{0.2}$;

3) $\sqrt[10]{c^{3} \sqrt{c^{2}}}$;

4) $\sqrt[3]{y^{2}} \cdot \sqrt[4]{y^{-3}}$;

5) $\sqrt[7]{x^{4}}: \sqrt[14]{x}$;

6) $\sqrt[5]{m^{2} \sqrt{m}}: \sqrt[3]{m \sqrt{m}}$.

1) Для упрощения выражения $a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{1}{6}}\left(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)^4$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала возведем в степень выражение в скобках, используя правило $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$\left(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)^4 = (a^{-\frac{1}{3}})^4 \cdot (b^{\frac{1}{3}})^4 = a^{-\frac{1}{3} \cdot 4} b^{\frac{1}{3} \cdot 4} = a^{-\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{1}{6}} \cdot a^{-\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^{\frac{5}{3} + (-\frac{4}{3})} \cdot b^{-\frac{1}{6} + \frac{4}{3}} = a^{\frac{5-4}{3}} \cdot b^{-\frac{1}{6} + \frac{8}{6}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{7}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{7}{6}}$.

2) Для упрощения выражения $\left(c^{-\frac{3}{7}}x^{-0.4}\right)^3 \cdot c^{\frac{2}{7}}x^{0.2}$ сначала возведем в степень выражение в скобках:
$\left(c^{-\frac{3}{7}}x^{-0.4}\right)^3 = (c^{-\frac{3}{7}})^3 \cdot (x^{-0.4})^3 = c^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot x^{-0.4 \cdot 3} = c^{-\frac{9}{7}}x^{-1.2}$.
Теперь умножим результат на вторую часть выражения:
$c^{-\frac{9}{7}}x^{-1.2} \cdot c^{\frac{2}{7}}x^{0.2}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:
$c^{-\frac{9}{7} + \frac{2}{7}} \cdot x^{-1.2 + 0.2} = c^{\frac{-9+2}{7}} \cdot x^{-1} = c^{-\frac{7}{7}}x^{-1} = c^{-1}x^{-1}$.
Результат можно записать в виде дроби: $\frac{1}{cx}$.
Ответ: $c^{-1}x^{-1}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[10]{c^3\sqrt{c^2}}$ представим корни в виде степеней с дробными показателями.
Сначала упростим выражение под внешним корнем: $\sqrt{c^2} = (c^2)^{\frac{1}{2}} = c^{2 \cdot \frac{1}{2}} = c^1 = c$.
Тогда подкоренное выражение становится $c^3 \cdot c = c^{3+1} = c^4$.
Исходное выражение принимает вид $\sqrt[10]{c^4}$.
Теперь представим этот корень в виде степени:
$\sqrt[10]{c^4} = c^{\frac{4}{10}} = c^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $c^{\frac{2}{5}}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{y^2 \cdot \sqrt[4]{y^{-3}}}$.
Начнем с внутреннего корня, представив его как степень: $\sqrt[4]{y^{-3}} = y^{-\frac{3}{4}}$.
Теперь выражение под кубическим корнем имеет вид: $y^2 \cdot y^{-\frac{3}{4}}$.
Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели: $y^{2 + (-\frac{3}{4})} = y^{\frac{8}{4} - \frac{3}{4}} = y^{\frac{5}{4}}$.
Исходное выражение теперь выглядит так: $\sqrt[3]{y^{\frac{5}{4}}}$.
Представим кубический корень как степень и воспользуемся свойством $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(y^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = y^{\frac{5}{12}}$.
Ответ: $y^{\frac{5}{12}}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[7]{x^4} : \sqrt[14]{x}$.
Перепишем корни в виде степеней с дробными показателями:
$\sqrt[7]{x^4} = x^{\frac{4}{7}}$ и $\sqrt[14]{x} = x^{\frac{1}{14}}$.
Выражение принимает вид $x^{\frac{4}{7}} : x^{\frac{1}{14}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$x^{\frac{4}{7} - \frac{1}{14}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{4}{7} - \frac{1}{14} = \frac{8}{14} - \frac{1}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, результат равен $x^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$.

6) Упростим выражение $\sqrt[5]{m^2\sqrt{m}} : \sqrt[3]{m\sqrt{m}}$.
Упростим делимое и делитель по отдельности.
Делимое: $\sqrt[5]{m^2\sqrt{m}}$. Упростим подкоренное выражение: $m^2\sqrt{m} = m^2 \cdot m^{\frac{1}{2}} = m^{2+\frac{1}{2}} = m^{\frac{5}{2}}$. Тогда $\sqrt[5]{m^{\frac{5}{2}}} = (m^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = m^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{2}}$.
Делитель: $\sqrt[3]{m\sqrt{m}}$. Упростим подкоренное выражение: $m\sqrt{m} = m^1 \cdot m^{\frac{1}{2}} = m^{1+\frac{1}{2}} = m^{\frac{3}{2}}$. Тогда $\sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}} = (m^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{2}}$.
Теперь выполним деление:
$m^{\frac{1}{2}} : m^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = m^0 = 1$ (при условии, что $m \neq 0$).
Ответ: $1$.