Номер 6.62, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.62. Исследуйте функции и постройте их графики:

1) $y=|x-1|+|x|;$

2) $y=\frac{x^2-3x+2}{x-1};$

3) $y=x^2-6x+3;$

4) $y=|x^2-6x+3|;$

5) $y=x^2-6|x|+3;$

6) $y=|x^2-6|x|+3|.$

1) $y=|x-1|+|x|$

Для того, чтобы раскрыть модули, рассмотрим три случая, в зависимости от знака выражений под модулем. Точки, в которых выражения меняют знак: $x=0$ и $x-1=0 \implies x=1$.

1. При $x < 0$: Оба выражения под модулем отрицательны.
$y = -(x-1) + (-x) = -x+1-x = -2x+1$.

2. При $0 \le x < 1$: Выражение $x$ неотрицательно, а $x-1$ отрицательно.
$y = -(x-1) + x = -x+1+x = 1$.

3. При $x \ge 1$: Оба выражения под модулем неотрицательны.
$y = (x-1) + x = 2x-1$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной:$y = \begin{cases} -2x+1, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2x-1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

График состоит из двух лучей и отрезка между ними.
- На интервале $(-\infty, 0)$ это убывающая прямая. В точке $x=0$ значение $y=1$.
- На отрезке $[0, 1)$ это горизонтальная прямая $y=1$.
- На интервале $[1, \infty)$ это возрастающая прямая. В точке $x=1$ значение $y=2(1)-1=1$.

Ответ:

2) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=2$.
Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Упростим выражение для функции при $x \neq 1$:
$y = \frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x-2$.

Графиком функции является прямая $y=x-2$ с "выколотой" точкой, соответствующей $x=1$.
Найдем координаты этой точки: $y = 1-2 = -1$.
Таким образом, график — это прямая $y=x-2$ с выколотой точкой $(1, -1)$.

Ответ:

3) $y = x^2 - 6x + 3$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3$.
$y_v = (3)^2 - 6(3) + 3 = 9 - 18 + 3 = -6$.
Вершина находится в точке $(3, -6)$.

Найдем точку пересечения с осью OY (при $x=0$):
$y(0) = 0^2 - 6(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

Найдем точки пересечения с осью OX (при $y=0$):
$x^2 - 6x + 3 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4(1)(3) = 36 - 12 = 24$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$.
$x_1 = 3 - \sqrt{6} \approx 0.55$, $x_2 = 3 + \sqrt{6} \approx 5.45$.

Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

Ответ:

4) $y = |x^2 - 6x + 3|$

График функции $y=|f(x)|$ строится на основе графика $y=f(x)$. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси OX, остается без изменений. Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно оси OX.

Используем график функции $y = x^2 - 6x + 3$ из предыдущего пункта.
- Части параболы, где $y \ge 0$ (при $x \in (-\infty, 3-\sqrt{6}] \cup [3+\sqrt{6}, \infty)$), остаются на месте.
- Часть параболы, где $y < 0$ (при $x \in (3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{6})$), отражается вверх.
- Вершина $(3, -6)$ переходит в точку $(3, 6)$.
- Точки пересечения с осью OX $(3 \pm \sqrt{6}, 0)$ остаются на месте и становятся точками минимума.

Ответ:

5) $y = x^2 - 6|x| + 3$

Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 6|-x| + 3 = x^2 - 6|x| + 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Построим график для $x \ge 0$. При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 6x + 3$. Это та же парабола, что и в пункте 3.

Берем часть графика параболы $y = x^2 - 6x + 3$ при $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке $(0, 3)$, спускается до вершины $(3, -6)$ и затем поднимается вверх.

Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$. Вершина $(3, -6)$ отразится в точку $(-3, -6)$. Точка $(0,3)$ является точкой "излома".

Ответ:

6) $y = |x^2 - 6|x| + 3|$

Этот график можно получить из графика предыдущей функции $g(x) = x^2 - 6|x| + 3$ по правилу $y=|g(x)|$. Части графика, лежащие ниже оси OX, отражаются симметрично относительно этой оси.

Используем график функции $y = x^2 - 6|x| + 3$ из пункта 5.
- Части графика, где $y < 0$, отражаются вверх. Это происходит на двух интервалах.
- Вершины $(3, -6)$ и $(-3, -6)$ переходят в точки $(3, 6)$ и $(-3, 6)$ соответственно.
- Точки пересечения с осью OX $x = \pm(3 - \sqrt{6})$ и $x = \pm(3 + \sqrt{6})$ становятся точками минимума.
- Часть графика около оси OY, которая была выше оси OX (между $x=-(3-\sqrt{6})$ и $x=3-\sqrt{6}$), остается без изменений. Точка $(0, 3)$ является локальным максимумом.

Ответ: