Номер 6.55, страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.55. При каких значениях $a$ любое решение неравенства $x^2-5x+4\le0$ является решением неравенства $x^2-a^2>0$?

6.55. Условие задачи заключается в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых любое решение неравенства $x^2-5x+4\le0$ является решением неравенства $x^2-a^2>0$. Это равносильно тому, что множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго неравенства.

1. Найдем множество решений первого неравенства: $x^2-5x+4\le0$.

Для этого решим соответствующее квадратное уравнение $x^2-5x+4=0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корнями являются $x_1=1$ и $x_2=4$.

Парабола $y=x^2-5x+4$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, значения функции не больше нуля ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением первого неравенства является отрезок $x \in [1; 4]$.

2. Найдем множество решений второго неравенства: $x^2-a^2>0$.

Это неравенство можно переписать в виде $x^2 > a^2$. Оно равносильно неравенству $|x| > |a|$.

Решением этого неравенства является объединение двух интервалов: $x \in (-\infty; -|a|) \cup (|a|; +\infty)$.

3. Сопоставим множества решений.

Мы должны найти такие значения $a$, при которых множество $[1; 4]$ полностью содержится в множестве $(-\infty; -|a|) \cup (|a|; +\infty)$.

Это означает, что отрезок $[1; 4]$ не должен иметь общих точек с отрезком $[-|a|; |a|]$. Для этого отрезок $[1; 4]$ должен находиться либо полностью левее отрезка $[-|a|; |a|]$, либо полностью правее.

Рассмотрим два возможных случая:

а) Отрезок $[1; 4]$ лежит правее отрезка $[-|a|; |a|]$. Это происходит, если левая граница отрезка $[1; 4]$ больше, чем правая граница отрезка $[-|a|; |a|]$. Математически это записывается как $1 > |a|$.

б) Отрезок $[1; 4]$ лежит левее отрезка $[-|a|; |a|]$. Это происходит, если правая граница отрезка $[1; 4]$ меньше, чем левая граница отрезка $[-|a|; |a|]$. Математически это записывается как $4 < -|a|$.

Теперь решим полученные неравенства для $a$.

В случае а): $|a| < 1$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < a < 1$.

В случае б): $4 < -|a|$, что эквивалентно $|a| < -4$. Так как модуль любого действительного числа $|a|$ всегда неотрицателен ($|a| \ge 0$), это неравенство не имеет решений.

Следовательно, единственным условием, удовлетворяющим требованию задачи, является $-1 < a < 1$.

Ответ: $a \in (-1; 1)$.