Номер 6.60, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.60. Постройте графики функций:

1) $y=x^2$;

2) $y=\frac{1}{x}$;

3) $y=|x|$;

4) $y=x^3$;

5) $y=\sqrt{x}$;

6) $y=\sqrt[3]{x}$;

7) $y=\frac{1}{x^2}$;

8) $y=\sqrt{1-x^2}$.

1) $y=x^2$;

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Вершина параболы находится в начале координат (0,0). Функция является чётной, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции $y=x^2$ — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

2) $y = \frac{1}{x}$;

Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат служат асимптотами. Функция нечётная, так как $y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$, поэтому график симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x}$ — гипербола, состоящая из двух ветвей в I и III координатных четвертях.

3) $y=|x|$;

Это функция "модуль x". График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. При $x \ge 0$, имеем $y=x$ (биссектриса первого координатного угла). При $x < 0$, имеем $y=-x$ (биссектриса второго координатного угла). Функция чётная, график симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции $y=|x|$ состоит из двух лучей, являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

4) $y=x^3$;

Это кубическая функция, график которой называется кубической параболой. График проходит через начало координат и возрастает на всей области определения. Функция нечётная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции $y=x^3$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат.

5) $y=\sqrt{x}$;

Это функция "квадратный корень". Область определения: $x \ge 0$. Область значений: $y \ge 0$. График является ветвью параболы, лежащей на боку. Он начинается в точке (0,0) и плавно возрастает. График является зеркальным отражением графика $y=x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ — верхняя ветвь параболы $x=y^2$, выходящая из начала координат.

6) $y=\sqrt[3]{x}$;

Это функция "кубический корень". Область определения и область значений — все действительные числа. График симметричен относительно начала координат, так как функция нечётная: $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. График похож на кубическую параболу, но "повёрнут" и расположен вдоль оси OX.

Ответ: График функции $y=\sqrt[3]{x}$ — кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

7) $y = \frac{1}{x^2}$;

График этой функции похож на гиперболу. Функция чётная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$, поэтому её график симметричен относительно оси OY. В отличие от $y=1/x$, обе ветви расположены выше оси OX (в I и II квадрантах), так как $y > 0$ для всех $x \neq 0$. Оси координат являются асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси OY.

8) $y = \sqrt{1 - x^2}$.

Чтобы определить вид графика, возведём обе части уравнения в квадрат: $y^2 = 1 - x^2$, при условии $y \ge 0$. Перенеся $x^2$ влево, получаем $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в (0,0) и радиусом 1. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только верхнюю половину этой окружности. Область определения: $-1 \le x \le 1$. Область значений: $0 \le y \le 1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1 - x^2}$ — верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1.