Номер 6.63, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.63. Постройте графики функций:

1) $y = \frac{1}{x+2}$;

2) $y = \frac{1}{x}-3$;

3) $y = \frac{1}{x-3}+1$;

4) $y = \frac{x-2}{x-3}$;

5) $y = \left|\frac{x-2}{x-3}\right|$;

6) $y = \frac{|x|-2}{|x|-3}$;

7) $y = \left|\frac{|x|-2}{|x|-3}\right|$;

8) $y = \frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}$.

1) Функция $y = \frac{1}{x+2}$.

Это гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига влево на 2 единицы вдоль оси Ox.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, что означает $x \neq -2$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = -2$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{1}{0+2} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения: $(0, 0.5)$.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{x+2} = 0$. Это уравнение не имеет решений, поэтому пересечений с осью Ox нет.

4. Построение графика: Строим график функции $y = \frac{1}{x}$ и сдвигаем его на 2 единицы влево.

Ответ:
График функции $y = \frac{1}{x+2}$ — это гипербола с асимптотами $x=-2$ и $y=0$.

2) Функция $y = \frac{1}{x} - 3$.

Это гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига вниз на 3 единицы вдоль оси Oy.

1. Область определения: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): не пересекает, так как $x=0$ - асимптота.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{x} - 3 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$. Точка пересечения: $(\frac{1}{3}, 0)$.

4. Построение графика: Строим график функции $y = \frac{1}{x}$ и сдвигаем его на 3 единицы вниз.

Ответ:
График функции $y = \frac{1}{x} - 3$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-3$.

3) Функция $y = \frac{1}{x-3} + 1$.

Это гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ путем сдвига вправо на 3 единицы вдоль оси Ox и вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.

1. Область определения: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 3$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{1}{0-3} + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$. Точка: $(0, \frac{2}{3})$.
- С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{x-3} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x-3} = -1 \Rightarrow x-3 = -1 \Rightarrow x = 2$. Точка: $(2, 0)$.

4. Построение графика: Строим $y = \frac{1}{x}$, сдвигаем на 3 вправо и на 1 вверх.

Ответ:
График функции $y = \frac{1}{x-3} + 1$ — это гипербола с асимптотами $x=3$ и $y=1$.

4) Функция $y = \frac{x-2}{x-3}$.

Преобразуем выражение, выделив целую часть: $y = \frac{x-3+1}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{1}{x-3} = 1 + \frac{1}{x-3}$. Это та же функция, что и в пункте 3.

Ответ:
График функции $y = \frac{x-2}{x-3}$ идентичен графику из пункта 3. Это гипербола с асимптотами $x=3$ и $y=1$.

5) Функция $y = \left|\frac{x-2}{x-3}\right|$.

График этой функции получается из графика функции $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$ (рассмотренного в пунктах 3 и 4) с помощью преобразования $y = |g(x)|$.

1. Построение:
- Сначала строим график $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$.
- Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.
- Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $g(x) \geq 0$), остается без изменений.

2. Анализ знака $g(x)$:
- $g(x) \geq 0$ при $x \in (-\infty, 2] \cup (3, +\infty)$. На этих интервалах график $y$ совпадает с графиком $g(x)$.
- $g(x) < 0$ при $x \in (2, 3)$. На этом интервале график $g(x)$ отражается вверх.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=3$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

Ответ:
График функции получается из гиперболы $y=\frac{x-2}{x-3}$ отражением ее отрицательной части ($x \in (2,3)$) относительно оси Ox.

6) Функция $y = \frac{|x|-2}{|x|-3}$.

График этой функции получается из графика функции $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$ с помощью преобразования $y = g(|x|)$. Это означает, что функция является четной, и ее график симметричен относительно оси Oy.

1. Построение:
- Строим график функции $g(x) = \frac{x-2}{x-3}$ для $x \ge 0$. Эта часть графика совпадает с соответствующей частью графика из пункта 4.
- Отражаем построенную часть симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

2. Асимптоты:
- Вертикальные асимптоты: $|x|-3=0 \Rightarrow |x|=3 \Rightarrow x=3$ и $x=-3$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.

3. Пересечения с осями:
- С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{0-2}{0-3} = \frac{2}{3}$. Точка: $(0, \frac{2}{3})$.
- С осью Ox (при $y=0$): $|x|-2=0 \Rightarrow |x|=2 \Rightarrow x=2$ и $x=-2$. Точки: $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ:
График симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальные асимптоты $x=3, x=-3$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.

7) Функция $y = \left|\frac{|x|-2}{|x|-3}\right|$.

График этой функции можно получить двумя способами:
1. Применить преобразование $y=|f(x)|$ к графику из пункта 6. То есть, отразить все отрицательные части графика функции $h(x) = \frac{|x|-2}{|x|-3}$ относительно оси Ox.
2. Применить преобразование $y=f(|x|)$ к графику из пункта 5. То есть, взять правую половину ($x \ge 0$) графика $y = \left|\frac{x-2}{x-3}\right|$ и симметрично отразить ее относительно оси Oy.
Оба способа дадут одинаковый результат.

1. Построение (метод 1):
- Берём график из пункта 6. - Отрицательные значения функция принимает при $2 < |x| < 3$, т.е. на интервалах $(-3, -2)$ и $(2, 3)$. - Отражаем части графика на этих интервалах симметрично относительно оси Ox.

2. Свойства:
- Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.
- Функция всегда неотрицательна: $y \ge 0$.
- Асимптоты: $x=3, x=-3, y=1$.

Ответ:
График симметричен относительно оси Oy и лежит полностью в верхней полуплоскости. Асимптоты $x=\pm 3, y=1$.

8) Функция $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.
- Числитель: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
- Знаменатель: $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Функция принимает вид: $y = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)}$.

1. Область определения: Знаменатель не равен нулю, $x^2 - 4x + 3 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

2. Упрощение: При $x \neq 1$ можно сократить дробь на $(x-1)$: $y = \frac{x-2}{x-3}$.

3. Анализ: График данной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{x-2}{x-3}$ (рассмотренной в пунктах 3 и 4) за исключением точки $x=1$. В этой точке исходная функция не определена, поэтому на графике будет "выколотая" точка (разрыв).

4. Координаты выколотой точки: Найдем значение, к которому стремится функция при $x \to 1$, используя упрощенное выражение: $y(1) = \frac{1-2}{1-3} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$. Координаты выколотой точки: $(1, 0.5)$.

Ответ:
График функции — это гипербола $y=\frac{x-2}{x-3}$ с асимптотами $x=3, y=1$ и выколотой точкой в $(1, 0.5)$.