Номер 6.70, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.70. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ - арифметическая прогрессия, $a_1=a$, $a_n=b$, $(a>0, b>0)$. Выразите сумму $\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}$ через $a, b$ и $n$.

Обозначим искомую сумму через $S$. Она представляет собой сумму $n-1$ слагаемых:

$S = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}}$

Рассмотрим общий член этой суммы вида $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$. Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$:

$\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна разности прогрессии $d$. То есть, $a_{k+1} - a_k = d$.

Таким образом, каждый член суммы можно записать в виде:

$\frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$

Теперь запишем всю сумму $S$, используя это преобразование:

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$

Распишем сумму, стоящую под знаком $\sum$:$(\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + (\sqrt{a_4} - \sqrt{a_3}) + ... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}})$

Эта сумма является телескопической: все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$\sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}$

Тогда выражение для $S$ принимает вид:

$S = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d}$

Теперь выразим разность прогрессии $d$ через известные величины $a$, $b$ и $n$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим в нее $a_1 = a$ и $a_n = b$:

$b = a + (n-1)d$

Отсюда, если $n>1$, $d = \frac{b-a}{n-1}$.

Подставим это выражение для $d$ и значения $a_1=a, a_n=b$ в нашу формулу для $S$:

$S = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\frac{b-a}{n-1}} = \frac{(n-1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{b-a}$

Чтобы упростить это выражение, заметим, что знаменатель $b-a$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $b-a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})$.

Тогда, если $b \neq a$:

$S = \frac{(n-1)(\sqrt{b} - \sqrt{a})}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})} = \frac{n-1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$

Если же $b=a$, то разность прогрессии $d=0$, все члены прогрессии равны $a$. Тогда исходная сумма равна:

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{n-1}{2\sqrt{a}}$

Полученная нами формула $S = \frac{n-1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$ при $b=a$ дает тот же результат: $S = \frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}} = \frac{n-1}{2\sqrt{a}}$. Таким образом, формула верна для всех случаев ($a>0, b>0$).

Ответ: $\frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$