Номер 6.75, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.75. Пусть $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Выразите сумму через $b_1$ и $q$:

1) $b_1+b_2+b_3+\dots;$

2) $b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots;$

3) $b_1^3+b_2^3+b_3^3+\dots$

По условию, последовательность $b_1, b_2, \dots, b_n, \dots$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Это означает, что ее знаменатель $q$ удовлетворяет условию $|q| < 1$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

1) $b_1+b_2+b_3+\dots$
Это сумма исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$. Применяя формулу суммы, получаем: $S_1 = \frac{b_1}{1-q}$.
Ответ: $\frac{b_1}{1-q}$.

2) $b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots$
Рассмотрим последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \dots$. Общий член этой последовательности $c_n = b_n^2 = (b_1 q^{n-1})^2 = b_1^2 (q^2)^{n-1}$. Это также геометрическая прогрессия. Ее первый член $c_1 = b_1^2$, а знаменатель $q' = q^2$. Поскольку по условию $|q| < 1$, то и $|q'| = |q^2| = |q|^2 < 1$. Следовательно, новая прогрессия также является бесконечно убывающей. Сумма этой прогрессии равна: $S_2 = \frac{c_1}{1-q'} = \frac{b_1^2}{1-q^2}$.
Ответ: $\frac{b_1^2}{1-q^2}$.

3) $b_1^3+b_2^3+b_3^3+\dots$
Рассмотрим последовательность, состоящую из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, b_2^3, b_3^3, \dots$. Общий член этой последовательности $d_n = b_n^3 = (b_1 q^{n-1})^3 = b_1^3 (q^3)^{n-1}$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $d_1 = b_1^3$ и знаменателем $q'' = q^3$. Так как $|q| < 1$, то и $|q''| = |q^3| = |q|^3 < 1$. Значит, эта прогрессия является бесконечно убывающей. Сумма этой прогрессии равна: $S_3 = \frac{d_1}{1-q''} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$.
Ответ: $\frac{b_1^3}{1-q^3}$.