Номер 6.80, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.80. Восьмой член арифметической прогрессии равен 60. Члены $a_1$, $a_7$ и $a_{25}$ образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Пусть $\{a_n\}$ – заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ – ее первый член, а $d$ – ее разность.

По условию, восьмой член арифметической прогрессии равен 60. Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = 60$.

Из этого уравнения можно выразить $a_1$ через $d$:

$a_1 = 60 - 7d$.

Также по условию задачи члены $a_1$, $a_7$ и $a_{25}$ образуют геометрическую прогрессию. Для трех последовательных членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3$ выполняется характеристическое свойство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. В нашем случае, $b_1 = a_1$, $b_2 = a_7$, $b_3 = a_{25}$, следовательно:

$a_7^2 = a_1 \cdot a_{25}$.

Выразим $a_7$ и $a_{25}$ через $a_1$ и $d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$

Подставим эти выражения в свойство геометрической прогрессии:

$(a_1 + 6d)^2 = a_1 \cdot (a_1 + 24d)$.

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $a_1 = 60 - 7d$:

$((60 - 7d) + 6d)^2 = (60 - 7d) \cdot ((60 - 7d) + 24d)$

Упростим обе части уравнения:

$(60 - d)^2 = (60 - 7d)(60 + 17d)$

Раскроем скобки:

$3600 - 120d + d^2 = 3600 + 1020d - 420d - 119d^2$

$3600 - 120d + d^2 = 3600 + 600d - 119d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$:

$d^2 + 119d^2 - 120d - 600d + 3600 - 3600 = 0$

$120d^2 - 720d = 0$

Вынесем общий множитель $120d$ за скобки:

$120d(d - 6) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения для разности $d$: $d=0$ или $d=6$.

Теперь найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$ для каждого из случаев. Знаменатель $q$ можно найти как отношение второго члена к первому: $q = \frac{a_7}{a_1}$.

Рассмотрим первый случай, когда $d=0$.

Тогда $a_1 = 60 - 7(0) = 60$.

Члены арифметической прогрессии в этом случае все равны 60. Члены геометрической прогрессии: $a_1=60$, $a_7=60$.

Знаменатель $q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{60}{60} = 1$.

Рассмотрим второй случай, когда $d=6$.

Тогда $a_1 = 60 - 7(6) = 60 - 42 = 18$.

Найдем $a_7$: $a_7 = a_1 + 6d = 18 + 6(6) = 18 + 36 = 54$.

Знаменатель $q = \frac{a_7}{a_1} = \frac{54}{18} = 3$.

Таким образом, существуют два возможных значения для знаменателя этой прогрессии.

Ответ: 1 или 3.