Номер 6.83, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.83. Пусть $0

1) $x, \pi-x, \pi+x, \frac{\pi}{2}-x, \frac{\pi}{2}+x$;

2) $x+2\pi k, k\in Z$;

3) $\pm x+2\pi k, k\in Z$;

4) $x+\pi k, k\in Z$;

5) $(-1)^k\pi+ \pi k, k\in Z$.

По условию задачи, угол $x$ находится в интервале $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что точка, соответствующая углу $x$ на единичной окружности, находится в первой четверти. Обозначим эту точку как $P_x$. Координаты этой точки равны $(\cos x, \sin x)$.

На рисунке ниже показано расположение точек на единичной окружности для некоторого угла $x$ из первой четверти (для наглядности взят угол, близкий к $\frac{\pi}{6}$).

Примечание: на рисунке используется правая система координат, где ось Oy направлена вверх.

Рассмотрим каждую точку отдельно:
• Угол $x$ по условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$, значит, соответствующая точка находится в первой четверти.
• Для угла $\pi-x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $\frac{\pi}{2} < \pi-x < \pi$. Точка находится во второй четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно оси ординат (Oy).
• Для угла $\pi+x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $\pi < \pi+x < \frac{3\pi}{2}$. Точка находится в третьей четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно начала координат.
• Для угла $\frac{\pi}{2}-x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $0 < \frac{\pi}{2}-x < \frac{\pi}{2}$. Точка находится в первой четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно прямой $y=x$.
• Для угла $\frac{\pi}{2}+x$: из $0 < x < \frac{\pi}{2}$ следует $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2}+x < \pi$. Точка находится во второй четверти.
Всего этим углам соответствуют пять различных точек на единичной окружности.
Ответ: Всего пять точек: две в первой четверти (соответствующие углам $x$ и $\frac{\pi}{2}-x$), две во второй четверти (углы $\pi-x$ и $\frac{\pi}{2}+x$) и одна в третьей четверти (угол $\pi+x$).

Прибавление к углу величины $2\pi k$ (где $k$ - целое число) соответствует совершению $k$ полных оборотов по окружности. Положение точки на единичной окружности при этом не изменяется. Следовательно, все углы вида $x + 2\pi k$ соответствуют одной и той же точке, что и угол $x$. Поскольку $0 < x < \frac{\pi}{2}$, эта точка находится в первой четверти.
Ответ: Одна точка в первой четверти, совпадающая с точкой для угла $x$.

Эта запись объединяет две серии углов: $x + 2\pi k$ и $-x + 2\pi k$.
• Серия $x + 2\pi k$ соответствует одной точке в первой четверти (как в пункте 2).
• Серия $-x + 2\pi k$ соответствует точке для угла $-x$. Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -x < 0$. Эта точка находится в четвертой четверти. Она симметрична точке $P_x$ относительно оси абсцисс (Ox).
Таким образом, мы получаем две точки.
Ответ: Две точки: одна в первой четверти (для угла $x$) и одна в четвертой четверти (для угла $-x$), симметричные друг другу относительно оси абсцисс.

Рассмотрим два случая для целого числа $k$:
• Если $k$ - четное число, т.е. $k=2n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $x + 2\pi n$. Это та же точка, что и для угла $x$, в первой четверти.
• Если $k$ - нечетное число, т.е. $k=2n+1$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $x + \pi(2n+1) = (x+\pi) + 2\pi n$. Это точка, соответствующая углу $x+\pi$. Как показано в пункте 1, эта точка находится в третьей четверти.
Эти две точки диаметрально противоположны друг другу.
Ответ: Две диаметрально противоположные точки: одна в первой четверти (для угла $x$) и одна в третьей четверти (для угла $x+\pi$).

Рассмотрим два случая для целого числа $k$:
• Если $k$ - четное число, т.е. $k=2n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $(-1)^{2n}x + \pi(2n) = x + 2\pi n$. Это точка для угла $x$ в первой четверти.
• Если $k$ - нечетное число, т.е. $k=2n+1$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$, то угол равен $(-1)^{2n+1}x + \pi(2n+1) = -x + \pi + 2\pi n$. Это точка, соответствующая углу $\pi-x$. Как показано в пункте 1, эта точка находится во второй четверти.
Эти две точки симметричны друг другу относительно оси ординат (Oy).
Ответ: Две точки: одна в первой четверти (для угла $x$) и одна во второй четверти (для угла $\pi-x$), симметричные друг другу относительно оси ординат.